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Teilbarkeit
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
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BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 14:44:53    Titel: Teilbarkeit

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe zur Teilbarkeit; zu zeigen ist, dass
[;\sum_{k=1}^nk;] ist ein Teiler von n! [;\Leftrightarrow;] n+1 ist keine Primzahl.

Also, zuerst halten wir fest: [;\sum_{k=1}^nk = \frac{n(n+1)}{2};] nach Gauß. Ich habe nun zuerst mal die Richtung von rechts nach links zu zeigen versucht. Falls n+1 gerade ist, ist jedenfalls [;\frac{n(n+1)}{2};] ein Teiler von n!, denn sowohl n als auch [;\frac{n+1}{2};] sind ganze Zahlen und liegen in der Menge {1,...,n}, so dass sie zu den Teilern von n! = n*(n-1)*...*2*1 gehören.

Wie zeige ich diese Richtung aber für den Fall "n+1 ist ungerade, aber keine Primzahl"? Dann ist [;\frac{n+1}{2};] ja keine ganze Zahl mehr...

Weiß jemand Rat?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 14:52:33    Titel:

Der erste Teil deines Beweises ist noch nicht so korrekt: Beispielsweise teilen zwar auch 2 und 6 die Zahl 18, aber nicht ihr Produkt. Der Schluss klappt so nur ohne weitere Zusatzüberlegungen, wenn die beiden Teiler zueinander teilerfremd sind (wieso?).

Für den Fall "n+1 ist ungerade" kannst du aber was über n bzw. n/2 aussagen? Und vergiss nicht: n+1 soll für diese Richtung des Beweises keien Primzahl sein!


Dann fehlt dir noch die Umkehrung, also n*(n+1)/2 ist Teiler von n! ==> n+1 ist keine Primzahl...


Cyrix
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 15:05:00    Titel:

cyrix42 hat folgendes geschrieben:
Der erste Teil deines Beweises ist noch nicht so korrekt: Beispielsweise teilen zwar auch 2 und 6 die Zahl 18, aber nicht ihr Produkt. Der Schluss klappt so nur ohne weitere Zusatzüberlegungen, wenn die beiden Teiler zueinander teilerfremd sind (wieso?).

Den Einwand verstehe ich nicht so ganz, mit was für Zahlen rechnest du denn da?
Wenn n+1 gerade ist, ist doch (n+1)/2 eine ganze Zahl, die für n≥1 auf jeden Fall < n ist und somit in der Menge {1,...,n} liegt, also ein Teiler von n! ist... oder nicht?

cyrix42 hat folgendes geschrieben:

Für den Fall "n+1 ist ungerade" kannst du aber was über n bzw. n/2 aussagen? Und vergiss nicht: n+1 soll für diese Richtung des Beweises keien Primzahl sein!

Okay, wenn n+1 ungerade ist, ist n gerade, also n/2 eine ganze Zahl, d.h. n/2 ist auf jeden Fall ein Teiler von n(n+1)/2, aber n+1 doch auf keinen Fall! Oder kann ich dann so argumentieren, dass n+1 (weil es keine Primzahl ist) mindestens zwei Teiler haben muss, die beide < n+1 sind und somit auch in der Menge {1,...,n} liegen?

cyrix42 hat folgendes geschrieben:

Dann fehlt dir noch die Umkehrung, also n*(n+1)/2 ist Teiler von n! ==> n+1 ist keine Primzahl...

Da habe ich noch gar keine Idee. Geht der Beweis vielleicht in beide Richtungen, d.h. ich mache einfach an jede Umformung einen Doppelpfeil? Smile

Danke für deine Tipps!
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 15:07:35    Titel:

Tiamat hat folgendes geschrieben:
cyrix42 hat folgendes geschrieben:
Der erste Teil deines Beweises ist noch nicht so korrekt: Beispielsweise teilen zwar auch 2 und 6 die Zahl 18, aber nicht ihr Produkt. Der Schluss klappt so nur ohne weitere Zusatzüberlegungen, wenn die beiden Teiler zueinander teilerfremd sind (wieso?).

Den Einwand verstehe ich nicht so ganz, mit was für Zahlen rechnest du denn da?
Wenn n+1 gerade ist, ist doch (n+1)/2 eine ganze Zahl, die für n≥1 auf jeden Fall < n ist und somit in der Menge {1,...,n} liegt, also ein Teiler von n! ist... oder nicht?


Das produkt zweier Teiler ist nicht notwendigerweise wieder ein Teiler. Dies sollte das Gegenbeispiel von 2|18 und 6|18, aber 2*6 teilt nicht 18 doch aufzeigen.

Zitat:

cyrix42 hat folgendes geschrieben:

Für den Fall "n+1 ist ungerade" kannst du aber was über n bzw. n/2 aussagen? Und vergiss nicht: n+1 soll für diese Richtung des Beweises keien Primzahl sein!

Okay, wenn n+1 ungerade ist, ist n gerade, also n/2 eine ganze Zahl, d.h. n/2 ist auf jeden Fall ein Teiler von n(n+1)/2, aber n+1 doch auf keinen Fall! Oder kann ich dann so argumentieren, dass n+1 (weil es keine Primzahl ist) mindestens zwei Teiler haben muss, die beide < n+1 sind und somit auch in der Menge {1,...,n} liegen?


Genauer argumentieren; gleiches Problem! Das Produkt von Teilern ist nicht notwendigerweise wieder ein Teiler...

Zitat:

cyrix42 hat folgendes geschrieben:

Dann fehlt dir noch die Umkehrung, also n*(n+1)/2 ist Teiler von n! ==> n+1 ist keine Primzahl...

Da habe ich noch gar keine Idee. Geht der Beweis vielleicht in beide Richtungen, d.h. ich mache einfach an jede Umformung einen Doppelpfeil? Smile


Na das funktioniert nicht... Wink

Cyrix
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 15:14:43    Titel:

Wenn es um Teiler von n gehen würde, würde ich dir ja Recht geben - aber es geht ja um Teiler von n! = n*(n-1)*...*2*1.
Und wenn ich da zeigen kann, dass n und (n+1)/2 (jetzt für den Fall n+1 gerade) voneinander verschiedene Zahlen sind (was für n>1 immer der Fall ist) und dass (n+1)/2 außerdem noch immer < n ist (auch für n>1 immer gegeben), dann muss (n+1)/2 doch eine der Zahlen n-1,...,2 sein, also automatisch in dem Produkt n*(n-1)*...*2*1 enthalten sein.
Oder täusche ich mich da wirklich?
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 15:17:11    Titel:

Ah, jetzt verstehe ich. Smile

Ok, dann ist gut. Ja, dann funktioniert dein Vorgehen, wenn du jeweils die Verschiedenheit zeigst. Smile

Cyrix
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