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|sinx| differenzierbar?
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Max16hr
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Anmeldungsdatum: 07.01.2009
Beiträge: 8

BeitragVerfasst am: 10 Feb 2009 - 14:46:46    Titel: |sinx| differenzierbar?

Hallo.

Ist die Funktion f(x) := |sinx| differenzierbar?

Die Funktion hat auf den Intervallen (0 + 2*k*Pi, Pi + 2*k*Pi) (k beliebeige ganze Zahl) die Eigenschaften der normalen Sinusfunktion und auf den Intervallen (Pi + 2*k*Pi, 2*Pi + 2*k*Pi) die Eigenschaften von -sinx. Somit ist f auf diesen Intervallen differenzierbar.

Doch was ist mit den Stellen xi = i*Pi (i beliebige ganze Zahl), also an den Stellen ..., -Pi, 0, Pi, 2*Pi, ... ?

Meine Idee:

Es reicht, die Differenzierbarkeit an einer Stelle xi zu zeigen
O.B.d.A. x0=0.
Ist also f(x) an der Stelle x=0 differenzierbar?

Differenzenquotient:

* lim * |sin(x+h)| - |sinx|
h-->0******* h

= * lim * |sin(h)| - |sin0|
**h-->0***** h

= * lim * |sin(h)|
**h-->0*** h

Doch wie geht es nun weiter? Muss ich l'Hopital anwenden, weil dort ja was steht von wegen "0/0"? Dann erhält man als Grenzwert zum einen cos(h) (h>0) und zum anderen -cos(h) (h<0). Also kommt einmal 1 und einmal -1 heraus. Das heißt doch, dass der Grenzwert nicht existiert.

Somit ist f(x) nicht differenzierbar.

Nur kann ich l'Hopital überhaupt anwenden, wenn ich noch nicht weiß, ob die Funktion überhaupt differenzierbar ist?

Wäre schön, wenn mal jemand über meine Argumentation drüberschaut und mich auf Fehler aufmerksam macht.
Danke.
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