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Quaternionen => Oktonionen
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NRicola
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Anmeldungsdatum: 12.02.2006
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2009 - 22:21:56    Titel: Quaternionen => Oktonionen

Hallo,

wie der Titel verrät, habe ich ein Nachvollziehungsproblem bei Oktonionen bzw. Quaternionen, also der Weg von einem zum anderen.
Einstiegshalber habe ich mal klein angefangen - aus komplexen Zahlen die Oktonionen "entwickelt":
Einfach eine komplexe Zahl hergenommen und angesetzt, dass Real- und Imaginärteil sich jeweils wieder aus einer Art Real- und Imaginärteil zusammensetzen:



mit



bzw. für die Erweiterung zu Oktonionen einfacher umgeschrieben und die Indizierung etwas hübscher zurechtgeordnet:



Nach gleichem Muster baue ich nun die Quaternionen zu den Oktonionen aus - ich nehme an, die b's setzen sich wieder aus zwei Komponenten zusammen, wobei die hinzukommende Dimension e_4 ist:




dann definiere ich mir selber zurecht, dass



woraus sich nun für unsere Oktave ergibt



Ich finde das sieht bis hierher doch schon ganz gut aus. Jetzt geht es darum, mal den Zusammenhang zwischen den einzelnen Raumrichtungen zusammenzustricken.
Die ersten haben wir ja schon durch die Quaternionen festgelegt:



...und so weiter (mit den ersten dreien)
man kann fortfahren mit den e_4-Kombinationen, die wir oben schon festgelegt haben:



Schaut man bei wiki bei den Sedenionen nach, kann man eine Tabelle finden, die diese Dinge hier genau so aufführt. Bisher ist noch alles gut gegangen. Machen wir weiter:



irgendwas läuft hier also schief. Man könnte meinen: da hat dann wiki wohl was falsches erzählt. Leider dürfte das jedoch nicht der Fall sein, da ich auch in anderer Literatur diese Liste gefunden habe.

Wisst ihr, was da passiert oder passiert ist?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüß

NRicola
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24255

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2009 - 22:27:17    Titel:

In den Oktonionen ist die Multiplikation nicht mehr assoziativ. Deshalb funktioniert dein Vorgehen nicht, weil du die Assoziativität benutzen willst...

Cyrix
Shubi
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2009 - 22:47:53    Titel:

cyrix42 hat folgendes geschrieben:
In den Oktonionen ist die Multiplikation nicht mehr assoziativ. Deshalb funktioniert dein Vorgehen nicht, weil du die Assoziativität benutzen willst...

Cyrix


Warum ist dieser "Körper" dann noch von Interesse? Er ist weder assoziativ, noch kommutativ.

Einfach nur so? Very Happy
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2009 - 22:56:17    Titel:

Zumindest die Multiplikation ist es nicht. Einen praktischen Nutzen der Oktonionen kenn ich jetzt auch nicht, aber zumindest die Quaternionen erfreuen sich trotz fehlender Kommutativität größter Beliebtheit.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24255

BeitragVerfasst am: 12 Feb 2009 - 23:24:28    Titel:

Diese Divisionsalgebra ist insofern interessant, weil es die letzte ist, die es so noch gibt. Wink


Cyrix
NRicola
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Anmeldungsdatum: 12.02.2006
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 10:35:19    Titel:

Hallo,

ich denke, dass ich die Nichtassoziativität beachte. Ich berücksichtige ja die Vorzeichenänderungen bei bestimmten Multiplikationsreihenfolgen.
Ich sehe eben nur nicht den Fehler in der vorletzten Gleichung im ersten Post. Wenn +e_7 stimmen soll, dann würde es entweder heißen, dass e_2*e_1=+e_3 ist - stimmt aber nicht. Oder dass e_3*e_4=-e_7 ist - hingegen haben wir uns zuvor daraus +e_7 definiert.
Grüß

NRicola
NRicola
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Anmeldungsdatum: 12.02.2006
Beiträge: 41

BeitragVerfasst am: 16 Feb 2009 - 14:26:31    Titel:

Hallo,

insofern diese Frage also in eine Sackgasse führt, also nochmal anders:
Kennt jemand eine andere "Herleitungs"möglichkeit für die Oktonionen bzw. der 'Verschränkungen' der Dimensionen untereinander?
Grüße

NRicola
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