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Nicht-lineares Ausgleichsproblem
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Haase
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Anmeldungsdatum: 17.04.2006
Beiträge: 135
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 13 Feb 2009 - 12:43:55    Titel: Nicht-lineares Ausgleichsproblem

Hallo,
ich habe ein Verständnisproblem bei einer Vorlesungsmitschrift von mir und da im Internet andere Gleichungen kursieren, ich aber meine Gleichungen verstehen möchte, dachte ich mir frag ich hier mal Smile

Ein nichtlineares Ausgleichsproblem löst man in dem man versucht die "Summe der Fehlerquadrate" zu minimieren: |f(x1,...,xn)|^2 = \summe_{i=1}^{n}|fi(x)|^2 --> minimal sein
Das Verstehe ich.

Jetzt kann durch die Gauß-Newton-Iteration: |f(x) + f'(x)* delta(x)| --> minimal und x <-- x + delta(x) dieses Ausgleichsproblem bestimmt werden. Die erste Gleichung ist die Gauß-Newton-Iteration und diese soll minimal sein, was hat die zweite Gleichung zu sagen? Und bedeutet "bestimmt" = "gelöst" werden?

lg Haase
indiemischa
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Anmeldungsdatum: 07.07.2008
Beiträge: 186
Wohnort: CH

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 14:26:36    Titel:

da fehlt glaubich bisserl was:

du willst ||F(x)|| = (mit Taylor) = || F(X) + F'(X)*delta(x) || minimieren. (beachte den Unterschied zwischen x und X !!)

äquivalent dazu ist:
du willst die nicht-lineare Gleichung (I) F'(X)*delta(x) = F(X) nach delta(x) lösen.
Dazu benutzt du ein Iterationsverfahren.
Es gilt delta(x) := x - X (II)
X bezeichnet beim ersten Durchgang einen beliebigen Startwert und später die vorangegangene Näherungslösung.

d.h. du löst Die Gleichung oben nach delta(x) auf
und anschliessend (II) nach x.
Dann setzt du X = x udn fängst wieder vorne an, bis du eine brauchbare Lösung kriegst.

"Bestimmt" bedeutet, dass du einen Lösungsvektor x gefunden hast der im Sinne der "Summe der Fehlerquadrate" Forderung ideal im Bezug auf das Ausgleichsproblem ist.
Haase
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Anmeldungsdatum: 17.04.2006
Beiträge: 135
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2009 - 11:37:39    Titel:

Ich bin jetzt noch unsicherer Smile
Wenn ich die Gauß-Newton-Iteration ein wenig Anders schreibe: (1) |f(x[n]) + f'(x[n])* (x[n+1] - x[n]| --> minimal

und das gleiche mit der Gleichung die aussagt, das (x[n+1] - x[n]) minimal sein soll:
(2) x[n] <-- x[n] + x[n+1] - x[n]
<==>
(3) x[n] <-- x[x+1]

Jetzt sagt Gleichung (3), die sich auf Gleichung (1) bezieht was aus? Ist das überhaupt noch Richtig Smile
indiemischa
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Anmeldungsdatum: 07.07.2008
Beiträge: 186
Wohnort: CH

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2009 - 14:47:08    Titel:

nein

Das SOLL nicht minimal werden, sondern wird automatisch im Laufe der Iteration gegen Null gehen.

Damit verschwindet auch der zweite Term aus der Tylorentwicklung und du hast auch dein Ziel erreicht, ein x[n] mit f(x[n]) --> min zu finden.
Haase
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Anmeldungsdatum: 17.04.2006
Beiträge: 135
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 11:16:37    Titel:

Jetzt geht ein Lichtlein auf Smile

Das heißt ich schreibe am Besten:
|f(x) + f'(x)* delta(x)| --> minimal (x <-- x + delta(x))
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