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Äquivalenz mit Kongruenzen
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 14 Feb 2009 - 14:49:36    Titel: Äquivalenz mit Kongruenzen

Hallo,

diesmal soll ich die Äquivalenz von

i) [;n = 2^{2m}+1;] ist prim

ii) [;3^{\frac{n-1}{2}}\equiv -1 mod n;]

zeigen.

Die Richtung von i) --> ii) geht einigermaßen schnell:

[;3^{\frac{n-1}{2}}\equiv (\frac{3}{2^{2m}+1}) mod n;]
und
[;(\frac{3}{2^{2m}+1}) = (\frac{2^{2m}+1}{3})\cdot (-1)^{1\cdot 2^{2m-1}}=(\frac{(2^2)^m+1}{3})=(\frac{1^m+1}{3})=(\frac{2}{3})=-1;]

Wie geht aber die andere Richtung? Ich soll ja sicherlich nur zeigen, dass n prim ist und nicht, dass n die obige Form hat, aber trotzdem weiß ich nicht so ganz, wie ich da herangehen soll. Vielleicht ein Widerspruchsbeweis unter der Annahme, n sei zusammengesetzt? Wie könnte ich das dann ausnutzen?
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