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Ansatz Differentialgleichung mit sinusförmiger Störfunktion
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tmcbot
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Anmeldungsdatum: 13.11.2008
Beiträge: 10
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2009 - 16:40:38    Titel: Ansatz Differentialgleichung mit sinusförmiger Störfunktion

Hallo liebes Forum,

wieder mal sitze ich an einer Aufgabe, die ich selbst nach längerer Tüftelei nicht rausbekomme. Es handelt sich um eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit einer sinusförmigen Störfunktion:

y' + y tan x = sin 2x

Die homogene Lösung ist durch Trennung der Variablen schnell gefunden (yH = cos x), soweit kein Problem.

Nun aber zur Störfunktion: Wenn ich versuche, als Ansatz a sin 2x zu verwenden, dann sieht das so aus:

yP = a sin 2x
y'P = 2a cos 2x

Eingesetzt:

(2a cos 2x) + (a sin 2x) tan x = sin 2x

Das ist aber mit ziemlicher Sicherheit falsch, jedenfalls kann man für a keinen Wert definieren, dass dabei sin 2x rauskäme. Also ist wohl der Ansatz falsch ... Nur welcher ist denn der richtige?

Danke schon mal vorab für eure Hilfe
Michael
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 15 Feb 2009 - 23:50:40    Titel:

Wenn du keinen Ansatz kennst, wende die "Variation der Konstanten" an. Damit kommst du zum Ziel.
tmcbot
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Anmeldungsdatum: 13.11.2008
Beiträge: 10
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 16 Feb 2009 - 14:04:52    Titel:

Natürlich! Danke für den Anstoß, das ist es natürlich.

Für alle, die an der Lösung interessiert sind (ich hoffe jetzt nur mal, dass sie auch richtig ist und ich mich nicht blamiere Wink:

Homogene Lösung durch Trennung der Variablen:
Code:

dy
-- = y + tan x = 0
dx

dy = -y tan x dx    /* -1 / :y

  dy
  -- = - tan x dx   
   y

ln | y | = ln | cos x | + ln | C |

y = cos x * C



Daraus ergibt sich folgender Ansatz für die partikuläre Lösung yP
Code:

yP = cos x * C
y'P = cos x * C' - sin x * C


Eingesetzt in die DGL:
Code:

cos x * C' - sin x * C + cos x * C * tan x = sin 2x


Herausheben:
Code:

cos x * C'  + C( - sin x + cos x * tan x) = 2 sin x cos x


Der Term C fällt weg, da C( - sin x + cos x * tan x) null ist:

Code:

- sin x + cos x * tan x = 0
- sin x + cos x * (sin x / cos x) = 0
- sin x + sin x = 0


Also bleibt folgendes übrig:

Code:

C' = 2 sin x
C = -2 cos x


Ergibt also folgende partikuläre Lösung:
Code:

yP = cos x * -2 cos x  = -2 cos² x


Und für die Differentialgleichung:
Code:

yP = A cos x - 2 cos² x


Yipiiiiiiiie - mein Lösungsbuch sagt, es stimmt Smile
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