Beweis für la-rl<e

roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

Hallo!

Hab hier eine Aufgabe bei ich nicht weiß, wo und wie ich anfangen soll:

Sei a reell. Zeige: Zu jedem e > 0 gibt es ein rationales r mit la-rl<e

Wäre dankbar für einen Dankanstoß.

cyrix42 · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 20:59:40 Titel:

Wie habt ihr die reellen Zahlen definiert?

Cyrix
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roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

Als Summe der rationalen und irrationalen Zahlen. Wenn man das als Definition bezeichnen kann.

Jonsy · Senior Member Anmeldungsdatum: 11.02.2007 Beiträge: 3099

Hmm, irgendwie komisch. Was ist denn eine irrationale Zahl, wenn nicht ein Element aus IR \ IQ.

Jonsy

Calculus · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:20:15 Titel:

Und was ist eine irrationale Zahl?

roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

Eine irrationale zahl lässt sich nicht in der Form p/q mit p,q € Z und q ungleich 0 darstellen. Laughing

Calculus · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:25:32 Titel:

Und in welcher Grundmenge sollen sich diese Zahlen befinden?

roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

Welche jetzt nun wieder?

Calculus · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:29:52 Titel:

Die irrationale Zahl.

i Lässt sich nicht als p/q darstellen, ist i deswegen irrational?

cyrix42 · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:33:48 Titel:

Was soll denn i sein?

Cyrix
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roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

Keine wohin das führen soll. R kann man ja auch mit Hilfe dedekindscher Schnitte aus Q konstruieren, aber das kapier ich überhaupt nicht.

Kann man die Aufgabe nicht bearbeiten ohne eine genaue Definition der reellen Zahlen?

Calculus · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:40:34 Titel:

Eine Kurzschreibweise des Vektors (0, 1) aus dem Q-Vektorraum Q², welcher mittels (a, b) * (c, d) := (a * c - d * b, a * d + b * c) zu einer Q-Algebra wird Laughing

@topic: Wir drehen uns ein wenig im Kreis, weil ihr scheinbar keine vernünftige Definition der reellen Zahlen habt. Schau dir mal folgenden Artikel an: http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlbereichserweiterung

cyrix42 · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:42:14 Titel:

Also um mal Nägel mit Köpfen zu machen:

Es gibt verschiedene, zueinander äquivalente Definitionen der reellen Zahlen. Je nach Definition ist die oben genannte Eigenschaft mehr oder minder trivial.

Beispiele für Definitionen der Menge der reellen Zahlen sind:

- Vervollständigung des metrischen Raums der rationalen Zahlen
- Die Menge aller Mengen M_r rationaler Zahlen, für die gilt, dass einerseits für jedes Element x aus M_r auch jede rationale Zahl y<x in M_r liegt, und andererseits M_r nach oben beschränkt ist (Dedekind´sche Schnitte)
- Die Menge aller endlichen oder "unendlichen Dezimalbrüche"
...

Cyrix
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Calculus · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:43:49 Titel:

roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

Mir ist auch klar, dass das obige trivial ist. Wie kann ich denn das obige jetzt aus der Definition der reellen Zahlen anhand der dedekind'schen Schnitte zeigen?

cyrix42 · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:47:31 Titel:

Calculus · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:52:51 Titel:

Ganz so einfach ist es imo nicht, man muss schließlich erst einen Zahlenbereich haben, aus dem der Grenzwert stammt, man betrachte einfach mal die Definition des Grenzwertes einer Folge.

@topic: Zu dedekind'schen Schnitten kann ich leider nichts sagen Sad

cyrix42 · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 21:57:19 Titel:

@calculus: Richtig, man muss sauberer arbeiten: Die partialsummenfolge ist eine Cauchy-Folge, sodass höchstens ein Grenzwert existiert. Wir definiern nun, den Wert der Reihe als unsere reelle Zahl.

Cyrix
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Calculus · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 22:01:14 Titel:

Damit bin ich immernoch nicht wirklich zufrieden, nichts deutet auf die tatsächliche Existenz einer solchen Zahl hin.

Besser finde ich da sowieso den Weg mit den Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen.

roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

Blöd nur, dass ich den Begriff Cauchy-Folge nur dem Namen nach kenne.
Bitte kann mir jemand helfen, meinen Beweis zu führen Crying or Very sad

Calculus · Verfasst am: 15 Feb 2009 - 23:10:17 Titel:

Habt ihr schon gezeigt, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen? D.h. zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt immer mindestens eine rationale Zahl.

roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

roma5 · Newbie Anmeldungsdatum: 09.02.2009 Beiträge: 24

Ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhh. Jetzt hab ich verstanden wie man, da ran gehen muss. Wenn man das ohne Betrag schreibt, ist das nix anderes als a - e < r < a + e. Werd mich da mal ransetzen.