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Kurvendiskussion mit Flächenberechnung
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Richi
Gast






BeitragVerfasst am: 27 Apr 2005 - 22:25:20    Titel: Kurvendiskussion mit Flächenberechnung

Hallo,

also ich hab folgendes Problem:

die funktion f(x)= (x^2 + 4 x) / (x + 2)^2 ist gegeben. (Ihr Schaubild sei K)

Davon soll man eine Kurvendiskussion machen, das krieg ich noch hin!
Aber dann kommt B)

Berechnen sie den Inhalt der Fläche, die von K, der y-Achse, der waagrechten Asymptote und der Geraden mit der Gleichung x = 2 begrenzt wird.

Da komm ich schon nicht mehr weiter, denke ich brauch die Stammfunktion von f, aber schon das krieg ich nicht hin.

Und C) krieg ich auch nicht ganz hin:

Der Punkt P mit der x-Koordinate -1 liegt auf K. Die zur 2. Winkelhalbierenden parallele Gerade g durch P umschließt mit K eine Fläche. Berechnen die den Inhalt der Fläche.


Kann mir irgendjemand bei den 2 Teilaufgaben helfen, die wollen mir nicht gelingen, ich brauch vorallem erklärungen, warum ihr was wie macht, ergebnisse krieg ich auch von mienem Lehrer, nur die erklörung fehlt immer!
Vielen dank im vorraus für die Hilfe.

Gruß Richi
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 27 Apr 2005 - 23:55:45    Titel:

Hallo Richi

Die Funktion f(x) erstmal umformen.

f(x) = (x²+4x+4-4)/(x+2)² =( (x+2)²-4)/(x+2)² = 1- 4/(x+2)²

=> Asymptote x->oo = 1

Jetzt Integrieren

Hinweis Ableitung 1/x = -1/x²

Int (1-4/(x+2)² = x + 4/(x+2)

Jetzt Bild betrachten



Du musst also von der Fläche der Asymptote die Fläche der Kurve abziehen um die blaue Fläche zu erhalten.

Fläche der Asymptote in den Grenzen von 0 bis 2 = 2*1 = 2 = A1

Fläche der Funktion in den Grenzen von 0 bis 2 = 2+(4/(2+2) - (0+(4/2)= 3 - 2 = 1 = A2

A1 - A2 = 1

Gruß
Dirk
Gast







BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 00:06:29    Titel:

danke dir für die Hilfe, könntest du mir vielleicht nochmal ausführlich erklären wie du auf die Stammfunktion, also auf x+4/(x+2) kommst?
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 00:12:33    Titel:

Hallo Richi,

wenn ich Teil C richtig verstanden habe ergibt sich folgendes Bild



Zuerst musst du die Gerade aufstellen. Aus der Information 2. Winkelhalbiere folgt die Steigung ist -1. Geradegleichung mit P(-1,-3)

G: y-yp = m(x-xp) => y-(-3) = -1(x-(-1)) => y+3 = -x-1 => y = -x-4
g(x) = -x-4

Nullstelle der Geradengleichung
g(x) = 0 = -x-4 => x = -4

Nach dem Bild musst du zuerst für den Bereich -4 bis -1 die Fläche der Gerade mit der x-Achse berechnen und für den Bereich -1 bis o die Fläche f(x) mit der X-Achse berechnen.

Das Integral von f(x) haben wir schon.
Das Integral von g(x) = -x - 4 ist G(x) = -x²/2 - 4x + C

Jetzt in den Grenzen von -4 bis -1 Also G(-1) - G(-4) = -1/2 + 4 - (-8+16) = -1/2 + 4 - 8 = -4,5

Nun in den Grenzen -1 bis 0 mit F(x) = 0+4/(0+2) - (-1 + 4/(-1+2))= 2 - 3 = -1

Beiden Flächen aufsumieren: -4,5 - 1 = -5,5

Gruß
Dirk
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 00:31:41    Titel:

Anonymous hat folgendes geschrieben:
danke dir für die Hilfe, könntest du mir vielleicht nochmal ausführlich erklären wie du auf die Stammfunktion, also auf x+4/(x+2) kommst?


Die Funktion lautet f(x) = 1-4/(x+2)²

Das Integral ist Int f(x) = Int (1) + Int (-4/(x+2) ) = Int(1) + 4*Int(-1/(x+2))

Das einzige Problem ist also Integral von -1/(x+2)². Da sieht aus wie -1/x² . Davon kennt man das Integral nämlich 1/x. Also Lösung geraten:

Int -1/(x+2)² dx = 1/(x+2) +C

Testen durch Ableiten => Lösung ist richtig.
Alternativ ist subtituiren mit u = 1/(x+2). du/dx = -1/(x+2)² => du = -1/(x+2)² dx
Jetzt einsetzen
Int -1/(x+2)² dx = Int du = u
u wieder zurücksubstituieren
Int -1/(x+2)² dx = Int du = u +C = 1/(x+2) +C

wieder oben einsetzen

Int f(x) = Int(1) + 4*Int(-1/(x+2)) = x + 4/(x+2)

Gruß
Dirk
Gast







BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 00:40:45    Titel:

Daaaaaaaaaaaaaaaaanke, ich habe es sogar verstanden Smile !!
Du solltest Mathe-Lehrer werden!!!!!
cutiefran
Newbie
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Newbie


Anmeldungsdatum: 26.04.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 06:40:46    Titel:

OH MEIN GOTT, genau über sowas schreib ich in einer std und 40 min ne ganz doof arbeit und ich bin so planlos Sad
DMoshage
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 07:08:05    Titel:

cutiefran hat folgendes geschrieben:
OH MEIN GOTT, genau über sowas schreib ich in einer std und 40 min ne ganz doof arbeit und ich bin so planlos Sad


Na dann viel Glück.

Gruß
Dirk
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