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Herleitung der e-Funktion aus normaler Exponentialfunktion?
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Herr Benedikt
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Anmeldungsdatum: 27.06.2008
Beiträge: 250

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 14:33:04    Titel: Herleitung der e-Funktion aus normaler Exponentialfunktion?

Hallo zusammen,
ich stehe momentan, was Analysis angeht, schwer auf dem Schlauch. Wir haben heute im Unterricht Exponentialfunktionen behandelt, konkret am Beispiel:

f(x)=2^x

Wir sollten dann die Ableitung dieser Funktion über den Differentialquotienten bestimmen.

Das Ganze lief hinaus auf:

f'(x)= lim (für h gegen 0) von ((2^h-1)/h)*2^x.

Zuvor hatten wir die Ableitung für x=0 speziell bestimmt:

f'(0)= lim (für h gegen 0) von

f(0+h)-f(0)/h = (2^h-1)/h.

Durch Einsetzen von Werten für h die immer weiter gegen 0 konvergierten, kamen wir zu dem Schluss, dass der limes der Funktion für x=0 sich im Bereich 0,693... befindet.

Von diesen beiden Sachverhalten konnte unser Mathelehrer dann erklären, wie die euler'sche Zahl und die e-Funktion mit jeder "normalen" Exponentialfunktion zusammenhängen.
Leider konnten WIR als Schüler das nicht Laughing

Erläuterungen zu dem Zusammenhang am Beispiel der Funktion oben, wären sehr nett.

LG
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 15:16:09    Titel:

siehr doch gar nicht mal so verkehrt aus

Also
f(x) = 2^x
dann ist
f'(x)
= lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h einsetzen ergibt
= lim(h->0) [2^(x+h)-2^(x)]/h
= lim(h->0) [2^(x)*2^(h)-2^(x)]/h
= lim(h->0) [2^(h)-1]*[2^(x)]/h
= [2^(x)]*lim(h->0) [2^(h)-1]/h

Nun sind wie an der Stelle
lim(h->0) [2^(h)-1]/h
oder bei dir
f'(0)= lim (für h gegen 0) von f(0+h)-f(0)/h = lim (für h gegen 0)(2^h-1)/h.

Ist der Obere Teil verstanden? Dann können wir weiter untern fortsetzen.

Hier der Text bei Wiki
http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion#Motivation
Herr Benedikt
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Anmeldungsdatum: 27.06.2008
Beiträge: 250

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 15:46:23    Titel:

Ja, vielen Dank. Der Weg bis dahin ist klar.

Was mich aber viel eher wurmt ist die Frage, was das Ganze mit der Euler'schen Zahl zu tun hat.

Sprich: Wann kommen da meine 2,71828... ins Spiel?

Dankeschön
Herr Benedikt
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Anmeldungsdatum: 27.06.2008
Beiträge: 250

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 15:57:20    Titel:

Sorry, habe den Wikipedia-Link gerade überlesen.

Mir ist nicht klar, wieso dort plötzlich der Logarithmus eingeführt wird. Bei uns heute sind keine Logarithmen aufgetaucht Very Happy
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 16:21:20    Titel:



Es geht um den letzten Ausdruck
lim(h->0) [2^h-1]/h
Die Frage ist, wo geht der hin?

Durch Einsetzen von Werten für h die immer weiter gegen 0 konvergierten, kamen wir zu dem Schluss, dass der limes der Funktion für x=0 sich im Bereich 0,693... befindet.

das ist ln(2)



für a=2 gilt dann lim(h->0) [2^h-1]/h=ln(2)

-----------------
Folgendes:
Wir haben oben herausgefunden
f'(x)
= lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h einsetzen ergibt
= lim(h->0) [2^(x+h)-2^(x)]/h
= lim(h->0) [2^(x)*2^(h)-2^(x)]/h
= lim(h->0) [2^(h)-1]*[2^(x)]/h
= [2^(x)]*lim(h->0) [2^(h)-1]/h

also ist f'(x) = f(x)*lim(h->0) [2^(h)-1]/h

Es handelt sich wie gesagt nur um diesen Term
lim(h->0) [2^(h)-1]/h
=lim(h->0) [2^(h)-2^(0)]/[h-0]
=lim(h->0) [f(h)-f(0)]/[h-0]
=f'(0)

Also gilt
f'(x) = f(x)*f'(0) für die Exponentialfunktionen!

Es bleibt zu zeigen, was f'(0)=lim(h->0) [2^(h)-1]/h ist.
Wir müssen also diesen Grenzwert noch zeigen.
Herr Benedikt
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Anmeldungsdatum: 27.06.2008
Beiträge: 250

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 18:30:46    Titel:

Aaah, nach einem langen, nachdenklichen Nachmittag kann ich das ganze nun nachvollziehen.

Hat zwar etwas gedauert, aber es hat ja auch niemand behauptet, dass dieser ganze e-Funktion-Kram einfach sei Very Happy

Dankeschön...
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 20:51:14    Titel:

Mich wundert es, dass du es schon verstanden hast, ob wohl ich noch gar nicht richtig angefangen habe^^

Naja, das schöne an der E-Funktion ist das folgende, weshalb man da auch immer auf dieses e kommt

f(x) = a^b
Dann gilt mit Hilfe der Umkehrfunktion e^(-1)(x)=ln(x)

f(x) = a^b=e^ln(a^b)=e^[ln(a)*b]=e^[b*ln(a)]

Man kann also jede beliebige Exponentialfunktion a^b als E-Funktion darstellen! Das ist vor allem bei Wachstumsfunktionen sehr schön. Wenn man zum Beispiel Halbwertszeiten ausrechnen möchte usw.
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