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Dezimalbruchentwicklung
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Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 16:30:28    Titel: Dezimalbruchentwicklung

Hallo,

ich untersuche gerade, für welche x € R die Dezimalbruchentwicklung (=DBE) abbricht, für welche sie periodisch ist und für welche keines von beidem der Fall ist.

Ich habe inzwischen recherchiert, dass gilt:

1) x € Q, also x = a/b und b enthält nur die Primfaktoren 2 und/oder 5
--> die DBE von x bricht ab, ist also endlich

2) x € Q, also x = a/b und b enthält weder 2 noch 5 als Primfaktoren
--> die DBE von x ist reinperiodisch

3) x € Q, also x = a/b und b enthält sowohl 2 und/oder 5 als auch andere Primfaktoren
--> die DBE von x ist gemisch-periodisch

Einen Beweis dazu konnte ich jedoch nirgendwo finden. Also habe ich selbst mal damit angefangen:

Zu Fall 1):
Führt man eine Division mit Rest durch, so gilt:
a = p1 * b + r1
10r1 = p2 * b + r2
10r2 = p3 * b + r3
... usw.

Wenn nun b = 2^n * 5^m ist und der Rest jedesmal mit 10 multipliziert wird, hat man irgendwann erreicht, dass 10ri = 2^s * 5^t * p^np * q^nq * ..., wobei s ≥ n und t ≥ m ist, also b | 10ri und damit ist der Rest r(i+1) = 0 und die Dezimalbruchentwicklung somit endlich.
Ist das so korrekt?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 17 Feb 2009 - 16:36:53    Titel:

Ich kann deinem Beweis nicht ganz folgen, aber wieso versuchst du es nicht mittels Induktion?


- x hat eine endliche Darstellung -> x/10 hat eine endliche Darstellung
- Die Aussage gilt für b = 2^m * 5^n -> Die Aussage gilt für b = 2^(m + 1) * 5^n
- Die Aussage gilt für b = 2^m * 5^n -> Die Aussage gilt für b = 2^m * 5^(n + 1)
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