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Beweis einer Ungleichung mit Induktion
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ellocko
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Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 13:17:03    Titel: Beweis einer Ungleichung mit Induktion

Folgende Aufgabe:

Die Summe aller (1/Wurzel aus k), von k=1 bis n ist < (2 mal Wurzel aus n)

n ist aus den natürlichen Zahlen...

Problem ist: Hab noch nie eine Ungleichung mit Induktion bewiesen.
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 13:35:20    Titel:

Hi,

ob Gleichung oder Ungleichung macht wirklich keinen Unterschied.

Schreib mal auf, wie weit du kommst.

Jockel
ellocko
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Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 13:47:26    Titel:

Wenn man die Gleichung p nennt, dann ist A=(a aus IN| P(a) gilt).
Dann muss man doch p(1) zeigen und eingesetzt kommt dann 1<2 heraus. Damit hab ich dann gezeigt, dass p(1) gilt und somit 1 in A liegt.
Jetzt muss ich doch zeigen, dass aus p(a) p(a+1) folgt, oder?
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 13:56:25    Titel:

Ja.

Du setzt als Induktionsvoraussetzung Sum(k=1,n)(sqrt(k)) < 2 sqrt(n)
und machst dann den Induktionsschritt:

Sum(k=1,n+1)(sqrt(k)) = .... < ....(nach IV) < ... < 2 sqrt(n+1)
ellocko
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Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 14:39:05    Titel:

ich hab jetzt:

sum(k=1,n)(1/sqrt k)+(1/sqrt n+1) < 2 sqrt(n)+(n+1)
ellocko
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Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 14:46:43    Titel:

die linke seite der ungleichung ist falsch es muss heißen 2 sqrt(n+1)
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 14:47:18    Titel:

Nein, der Anfang lautet:

Sum(k=1,n+1)(1/sqrt(k)) = Sum(k=1,n)(1/sqrt(k)) + 1/sqrt(n+1)

< (nach IV) 2 sqrt(n) + 1/sqrt(n+1)

Du musst also nur zeigen:

2 sqrt(n) + 1/sqrt(n+1) <= 2 sqrt(n+1)
ellocko
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Anmeldungsdatum: 28.04.2005
Beiträge: 19
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 18:00:07    Titel:

ich rechne dann:
*sqrt(n+1)
/2
Dann hab ich: sqrt[n(n+1)]+1/2 < n+1

wenn ich das weiter rechne kommt da n<1/4 raus und das is doch nich Sinn der Sache, oder?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 28 Apr 2005 - 18:05:36    Titel:

Du kannst dort die arithmetisch-geometrische Ungleichung anwenden:

a+b>=2sqrt(ab), dann erhälst du

sqrt(n(n+1))<(n+n+1)/2=n+1/2
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