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Kugel, DGL - Problem
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kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 13:08:20    Titel: Kugel, DGL - Problem

Liebes Forum,

Von einer Kugel ist die Differentialgleichung (DGL) für den Radius r(t) gefragt. r(0) und die Konstante L seien gegeben.

Es geht um folgende Gleichung:

V'(t) = - L S(t).

Mein Problem liegt nun irgendwo im Zusammenhang mit DGL. Hier mein Lösungsversuch:

allg. Kreisformeln:

V(t) = 4/3 PI ( r (t) )^3
S(t) = 4PI ( r(t) ) ^2

V'(t) = 4 PI (r(t))^2

eingesetzt in der gegebenen Formel ergibt das aber:

4 PI (r(t))^2 = - L * 4PI ( r(t) ) ^2
L = -1

aber L sollte man doch gar nicht berechnen können!?

wo liegt mein Fehler?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 13:11:25    Titel:

Vielleicht schreibst Du mal, worum es da geht? Was ist V, L, S, t? Wieso Differentalgleichung etc.?

"Ich soll hier bei so einer Kurve k berechnen. Aber ich habe nur u und p. wie geht das dann? Kann man denn phi überhaupt berechnen?"

Gruß, mike

P.S.: Irgendwas scheint das damit zu tun zu haben, daß die Oberfläche die Ableitung des Volumens nach dem Radius ist. Aber wir lösen hier üblicherweise Aufgaben und keine Rätsel.

mike

Handelt es sich vielleicht um eine schrumpfende Kugel, bei welcher die Volumenänderung in einem bestimmten Zeitintervall gefragt ist? So, jetzt genug mit Rätselraten. Jetzt bis Du dran, mal zu sagen, worum es geht.
kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 16:22:26    Titel:

ok sorry, hier die Aufgabe:

Zitat:

Es sei eine Schneekugel mit konstanter Umgebungstemperatur. Die Geschwindigkeit, wie schnell das Volumen abnimmt, ist proporitional zur Oberfläche:

V'(t) = - L S(t), wobei L ein konstanter Faktor ist.

i) Welches ist die Einheit der Konstanten L?
ii) Angenommen es handle sich um eine perfekte Kugel, liefert die obige Gleichung eine DGL für den Radius r(t). Stellen Sie diese Gleichung auf und skizzieren sie den Graphen von r(t). r(0) und L seien bekannt.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 16:40:10    Titel:

Aha,

also wie ich vermutet hatte: Eine schrumpfende Kugel ...

Für 1. mußt Du nur die Gleichung umstellen in L=-V'(t)/S(t) und dann die Gleichung in eine Dimensionsgleichung umwandeln: [L]=[V'(t)]/[S(t)].
Bei einer Gleichung s=(1/2)a*t² ginge das z. B. so: a=(2s)/t² und [a]=[s]/[t²]. Nun ist [s]=m (Strecken mißt man in Metern) und [t²]=s² (Zeiten in Sekunden). Damit wird [a]=m/s²: Die Einheit der Beschleunigung ist Meter je Quadratsekunde.
(Anmerkung für alle Besserwisser: Ich bin hier extra etwas unsauber und identifiziere die Dimension mit der Maßeinheit, damit das Prinzip deutlich wird.)

Bei 2. kannst Du erstmal V und S durch r(t) ausdrücken. Dann hast Du schon deine Dgl. für r(t). Um r(t) zu skizzieren, mußt Du sie natürlich lösen. L kannst Du daraus natürlich nicht bestimmen. Das ist eine Konstante, die die Abschmelzgeschwindigkeit bestimmt. Die ist durch das Wetter bestimmt und soll darum als gegeben gelten. Ähnlich r(0). Das ist der Radius, den der auch des Schneemanns zu Beginn hat. Damit hast Du eine Angangsbedingung für die Dgl.

Gruß, mike
kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 12:33:39    Titel:

obwohl noch einiges unklar ist, erstmal vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen!

zu 1)
[L] = [ V'(t) ] / [ S(t) ] = m/s / m = 1 / s

stimmt das so? Ich frage deshalb, weil ich glaube mal etwas davon gehört zu haben, dass aus der Ableitung der Geschwindigkeit die Beschleunigung resultiert. Folglich wäre das Resultat dann 1/s², aber ich bin mir wirklich nicht mehr sicher, ob ich nun Aepfel und Birnen in einen Topf werfe...

zu 2)
Zitat:
Bei 2. kannst Du erstmal V und S durch r(t) ausdrücken. Dann hast Du schon deine Dgl.


V(t) = 4/3 PI ( r (t) )^3
S(t) = 4PI ( r(t) ) ^2

=>
r(t) = ( 3 V(t) / 4 PI ) ^ (1/3)
r(t) = sqrt( S(t) / 4 PI )

wie bekomme ich daraus nun meine DGL?

irgendwie sollte ich ja die Gleichungen in die gegebene Gleichung einsetzen können, doch wie kann ich V(t) = 4/3 PI ( r(t) )³ ableiten?

dies ist mein erstes physikalisches DGL-Beispiel. Vll bin ich auch deshalb verwirrt...
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
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BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 12:40:28    Titel:

V(t)=V(r(t)), denk mal an die Kettenregel.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 12:49:17    Titel:

Hallo kulturfenster,

zu 1.
[V'(t)] ist nicht m/s und [S(t)] ist nicht m. Denn V ist ein Volumen und der ' bedeutet, daß es sich hier um die Änderung des Volumens mit der Zeit handelt. S ist auch eine Fläche und keine Strecke.

zu 2.
Du machst Dir die Mühe, die Gleichung für V(t) nach r(t) aufzulösen. und dann stehst Du da und weißt nicht weiter. Dabei ist doch die Ausgangsgleichung V'(t)=-L*V(t) schon eine Dgl. Setze doch einfach die Ausdrücke für V(t) und S(t) in die Ausgangsgleichung ein.
Dann hast Du eine Dgl, in der nur noch r(t) vorkommt. Und für die gilt dann der Rat von One for one, mal an die Kettenregel zu denken.

Gruß, mike
kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 13:14:50    Titel:

1)

ach so, na klar, da hab ich ja ganz an einem falschen Ort gesucht..

also:

[Volumen] / [Fläche] = [ m^3 ] / [ m^2 ] = m


zu 2)

ok, ich habe nun ein mögliches Resultat erhalten:

V'(t) = 4PI ( r(t) )² * r'(t)

einsetzen in V'(t)=-L*S(t) ergibt:

4PI ( r(t) )² * r'(t) = -L 4PI ( r(t) )²
r'(t) = -L
r(t) = -Lt + c

und mit der Anfangsbedingung r(0) := r0:

r0 = c

=>

r(t) = -Lt + r0

richtig??
Shocked
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
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BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 14:28:26    Titel:

Ja, Aufgabe 2 ist jetzt richtig: Der Radius schmilzt linear auf null ab.

Bei Aufgabe 1 hast Du aber immer noch nicht berücksichtigt, daß V' die Volumenabnahmegeschwindigkeit (=Volumenänderung auf die Zeit bezogen) ist.

Gruß, mike
kulturfenster
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 14:34:21    Titel:

grmbl Rolling Eyes

[VolumenänderungProZeit] / [Fläche] = m³/s / m² = m/s

ich hoffe, dass dies nun auch endlich richtig ist und danke für die tolle Hilfe!! Smile
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