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Teilverhältnis in einem Dreieck
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kiko_de_mar
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Anmeldungsdatum: 01.02.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 13:58:01    Titel: Teilverhältnis in einem Dreieck

Wir machen gerade unter anderem Teilverhältnis und ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe:

In Fig. 1 ist D der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden CMC.
E ist der Schnittpunkt der Geraden durch A und D mit der Geraden durch B und C.
Zeigen Sie: Der Punkt D teilt die Strecke AE im Verhältnis 3 : 1 und der Punkt E teilt die Strecke BC im Verhältnis 2 : 1.

Zeichnung:

http://www.bilder-hochladen.net/files/9wv4-2-jpg.html

Ich weiß einfach nicht mehr weiter. Im Unterricht hatten wir noch halbwegs einleuchtende Beispiele aber hier? Ich habe zuerst überlegt das ich AB als Vektor a schreiben kann und CMC als Vektor b um somit eine Gleichung aufzustellen:
Gerade CB = a + t * (-0.5a+b)

Nur muss ich diese mit der Gleichung AE gleichsetzen um das Verhältnis herauszubekommen oder, aber wie mach ich das, ich hab schon alles probiert, aber ich weiß nicht weiter, es muss ja irgendetwas mit CMC zu tun haben, oder?
Please Help!
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 14:06:47    Titel:

Wenn Du die Strecke BC mit dem Vektor a bezeichnest und die Strecke CA mit dem Vektor b, dann kannst Du mit diesen beiden alle weiteren Strecken, um die es geht, ausrechnen. Und dabei fallen die gefragten Teilverhältnisse dann ab.

Erstmal kannst Du die Strecke AB durch die beiden Vektoren ausdrücken, und dann weißt Du damit auch die Strecke AMC. Dann ist es nicht mehr weit zu MCD usw.

Gruß, mike
theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
Beiträge: 1061
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 14:14:15    Titel:

Du bist im IR², also kannst du mit zwei vektoren a, b jeden anderen Vektor im Raum ausdrücken. Nimm doch AB = a und AC = b. Dann bildest du einen geschlossenen Vektorzug/geschlossene vektorkette. Ich würde dir ADMcA vorschlagen, also

AD + DMc + McA = o

Das kannst du deshalb machen, weil du weißt, dass dieser Punkt D laut Aufgabenstellung wirklich auf CMc liegt und so die Vektorkette geschlossen ist.

So etwas hast du sicherlich schon mal gesehen.

Jetzt drückst du die Vektoren AD, DMc und McA durch a und b aus. Dabei wirst du zwei unbekannte verwenden müssen, weil du nicht weißt wie lange AD im Vergleich zu AE ist und CE im Vergleich zu CB. Diese Variablen kannst du dann durch umstellen berechnen.

Versuch einfach mal die drei Vektoren durch a und b auszudrücken. DMc und McA sollten kein Problem sein. Beim anderen können wir dir dann sicher noch helfen.

mfg & LG
kiko_de_mar
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Anmeldungsdatum: 01.02.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 15:51:48    Titel:

Danke erstmal!
So ich habe mal versucht den zweiten Ansatz zu lösen.
Dabei bin ich auf folgendes gestoßen:

AMc = 0.5a

DMc = 0.5(0.5a - b)

AD = 0.5a + 0.5(0.5a - b)

Das hört sich total falsch an und das ist es auch, wenn man folgende Gleichung bildet:

0.5a + r(0.5(0.5a - b)) + t(0.5a + 0.5(0.5a - b)) = 0

Ich muss doch irgendwie nach AE kommen oder? Aber wie, in der Schule haben wir immer die zwei Geraden, die sich schneiden sollen durch Verktoren ausgedrückt, aber hier hab ich absolut keinen Plan. Ich versuch in der Zwiachenzeit einmal den ersten Ansatz!
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 19:45:20    Titel:

Zitat:
AMc = 0.5a

MC heißt so, weil es der Mittelpunkt der Seite c ist. Denn im Dreieck bezeichnet man die Seiten immer entsprechend den gegenüberliegenden Ecken. Es müßte also AMc = 0,5c sein.

An und für sich sieht das schon ganz gut aus, was Du da entwickelt hast. Nur läßt es sich kaum nachvollziehen, wenn unklar ist, welche Dreiecksseite Du wie bezeichnet hast.

Bedenke auch, daß Vektoren eine Richtung haben. So ist AB=c, aber BA=-c. Wenn Du Deinen Ansatz wiedergibst, solltest Du zuerst a und b in dieser Art definieren.

Gruß, mike
kiko_de_mar
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Anmeldungsdatum: 01.02.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 21:03:27    Titel:

AB ist bei mir Vektor a und Vektor b ist AC, deswegen auch: AMc = 0.5a.
Als nächstes wollte ich DMc darstellen, dafür brauchte ich doch die Hälfte von diesem Vektor, oder: 0.5a-b also 0.5(0.5a-b)) ?
Und AD ist folglich der Vektor aus 0.5a und die Hälfte von DMc oder?
Wenn man den Ansatz rechnet kommt aber etwas Falsches raus!
theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
Beiträge: 1061
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 21:35:04    Titel:

Du brauchst nicht AMc = 0,5a sondern

McA = -0,5a

Deine Darstellung von DMc dürfte dagegen stimmen:

DMc = 0.5(0.5a-b)) = 0,25a - 0,5b

Jetzt zu AD! Du weißt doch gar nicht in welchem Verhältnis D die Strecke AE teilt, das sollst du ja erst zeigen! Nehmen wir eine unbekannte r dann ist AD ein gewisses r-faches von AE

--> AD = r*AE

Für AE erhältst du folgendes:

---> AE = a + BE

BE wiederrum ist auch nicht so einfach, denn du weißt genauso wenig in welchem Verhältnis E die Strecke CB teilt. nehmen wir wieder eine unbekannte s dann ist BE ein gewisses s-faches von BC

---> AE = a + s*BC

BC ist dagegen wieder einfach:

---> AE = a + s*(-a +b)

---> AD = r*(a + s*(-a +b))

Dann kannst du die geschlossene Vektorkette aufstellen nur von a und b abhängig:

r*(a + s*(-a +b)) + 0,25a - 0,5b -0,5a = o

jetzt brauchst du zwei Gleichungssysteme, die bekommst wenn du zusammenfasst und a und b ausklammerst:

r*a -r*s*a + r*s*b -0,25a - 0,5b = a*(r-rs -0,25) + b(rs -0,5) = o

diese gleichung wird dann = o wenn r-rs -0,25 = 0 und wenn gleichzeitig rs -0,5 = 0

2 Gleichungen, 2 Unbekannte! alles weitere solte kein Problem für dich sein.

mfg & LG
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8128
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 21:37:30    Titel:

Zitat:
Und AD ist folglich der Vektor aus 0.5a und die Hälfte von DMc oder?
Wenn Du von A nach D gehst, kannst Du z. B über MC gehen:AD=AMC+MCD.
(Beachte: Hier handelt es sich um Vektoren. Daher stehen eigentlich Pfeile über den Bezeichnungen, um deutlich zu machen, daß es gerichtete Größen sind. Das läßt sich hier schlecht darstellen.)
Und jetzt siehst Du: AD ist 0,5a (schreibe nicht 0.5, das gibt es nur auf englisch) plus (nicht etwas die Hälfte, sondern das ganze) MCD (und auch nicht DMC, denn das hätte die falsche Richtung.

Jetzt darfst Du nochmal ausrechnen, wie man AD denn nun wirklich durch a und b ausdrücken kann. Und wenn Du das raushast, kannst Du zur Kontrolle auch noch von A über C nach D gehen und sehen, ob da dasselbe rauskommt.

Gruß, mike
kiko_de_mar
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Anmeldungsdatum: 01.02.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 14:18:05    Titel:

Juhuu, endlich ich danke euch tausend mal!!!
Also ich habe den Schritt von theticket mal weiter verfolgt und bin dann zu folgendem Ergebnis gelangt:

rs - 0,5 = 0

r = 1/(2s)

eingesetzt in die erste Gleichung:

... s = 2/3

und s in die zweite Gleichung:

... r = 3/4

Das hört sich schonmal richtig an und morgen weiß ichs ganz genau, werd euch dann sagen ob es richtig ist. Smile

Ich bedanke mich bei allen, die mir geholfen haben!!!
theticket
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Anmeldungsdatum: 07.02.2007
Beiträge: 1061
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 18:50:38    Titel:

Das ist sogar jetzt schon zu 100 % richtig, denn in der Aufgabe steht ja schon: Zeige, dass der Punkt... teilt die Strecke im VErhältnis 3:1 und ... 2:1.

2/3 und 3/4 stellen das gleiche dar!

(2/3)/(1/3) = 2/1 = 2:1

(3/4)/(1/4) = 3/1 = 3:1

mfg & LG
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