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Bestimmung einer Kugelgleichung lk mathe abi91 bawü
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rainbow89
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Anmeldungsdatum: 15.06.2008
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 21:49:42    Titel: Bestimmung einer Kugelgleichung lk mathe abi91 bawü

Hallo, ich denke, ich brauche hier mal eure hilfe,

und zwar soll ich die gleichung einer kugel aufstellen, die eine gegebene ebene e1 berührt und außerdem die x3-achse und eine zweite gegebene ebene e2(die parallel zur x3-achse ist) berührt.
der abstand zwischen den berührungspunkten mit x3-achse und e2 soll der durchmesser der kugel sein.

ich habe nun erstmal den berührpunkt der kugel mit den beiden ebenen berechnet, beide berührpunkte kann ich ja aber nur in abhängigkeit von (m1,m2,m3) dem mittelpunkt ausdrücken.

versucht hab ich außerdem den berührpunkt von achse und kugel auszurechnen, dabei komme ich aber auf
m1²+m2²+t²-2ta3+a3²=r² wenn gleichung der x3-achse x=t*(0/0/1)

und an der stelle ist mein wissen zuende.
hat jemand von euch eine idee oder einen sinnvolleren lösungsansatz?
dankeschön

ich schreib mal noch die gleichungen der ebenen dazu:

E1: x1+x2+4x3=12
und
E2: x1+x2=12

für die berührpunkte komme ich also auf
Pe1 (2/3+17/18a1-1/18a2-2/9a3 ;2/3-1/18a1+17/18a2-2/9a3 ;8/3-2/9a1-2/9a2+1/9a3)
Pe2 (6+0,5a1-0,5a2 ;6-0,5a1+0,5a2 ;a3)

stimmt das soweit und wie kann ich weitermachen?
danke schonmal für eure hilfe.
ultrix
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Anmeldungsdatum: 21.12.2008
Beiträge: 323
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 23:21:20    Titel: Re: Bestimmung einer Kugelgleichung lk mathe abi91 bawü

rainbow89 hat folgendes geschrieben:

und zwar soll ich die gleichung einer kugel aufstellen, die eine gegebene ebene e1 berührt und außerdem die x3-achse und eine zweite gegebene ebene e2(die parallel zur x3-achse ist) berührt.
der abstand zwischen den berührungspunkten mit x3-achse und e2 soll der durchmesser der kugel sein.

Damit liegen Mittelpunkt, Berührpunkt mit e2 und der mit der x3-Achse auf einer Geraden, die senkrecht zur x3-Achse und e2 steht. Damit kannst du bereits eine Gerade mit all den Punkten parallel zur x3-Achse bestimmen, die als Mittelpunkte in Frage kommen, sie verläuft mittig zwischen der x3-AChse und der Projektion der x3-Achse auf die e2-Ebene. Den Radius kennst du damit auch schon, das ist nämlich der halbe Abstand der x3-AChse zu e2.

Und jetzt musst du noch einen Punkt der Gerade bestimmen, der gerade diesen Abstand r von e1 hat.
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2009 - 23:28:33    Titel:

.
x1,x2,x3 → x,y,z Very Happy

Zitat:
gleichung einer kugel aufstellen

der abstand zwischen den berührungspunkten mit z-achse und E2 soll der durchmesser der kugel sein.

E2: x+y=12

die erste Spur von E2 ist die Gerade s: → x+y=12 ; z=0

der Abstand der z-Achse von E2 ist gleich dem Abstand d des Ursprungs von s
mach eine Skizze,
dann siehst du, dass d die halbe Diagonale des Quadrates mit Seite 12 ist
also d=6*√(2)
damit weisst du den Kugelradius r= 3*√(2)

Der Kugelmittelpunkt M muss auf der Parallelen zur z-Achse durch den Punkt (3/3/0) sein
(3/3/0)← Mittelpunkt des Lotes von (0/0/0) auf s
also hat M die Koordinaten (3/3/zM)

der Abstand von M zu E1: x+y+4z=12 ist r= 3*√(2)
der Abstand von M zu E1 ist die Länge des Lotes von M auf E1
dieses Lot wird auf einem Lotvektor n von E1 liegen
es ist zB n= (1/1/4)
der Lotfusspunkt F ist der Berührpunkt der Kugel mit E1
F liegt also auf der Geraden (x/y/z)= (3/3/zM) + t* (1/1/4)

die Länge von n ist freundlicherweise gerade √( 18 )=3*√(2) = r

also hat der Lotfusspunkt F die Koordinaten (4/4/zM+4)

(4/4/zM+4) liegt demnach in der Ebene E1 und muss daher deren Gleichung erfüllen
damit bekommst du eine einfache Gleichung zur Berechnung der fehlenden Koordinate zM von M

fertig
Very Happy
rainbow89
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Anmeldungsdatum: 15.06.2008
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 00:09:20    Titel:

Zitat:
die erste Spur von E2 ist die Gerade s: → x+y=12 ; z=0

der Abstand der z-Achse von E2 ist gleich dem Abstand d des Ursprungs von s
mach eine Skizze,
dann siehst du, dass d die halbe Diagonale des Quadrates mit Seite 12 ist
also d=6*√(2)


leider versteh ich das mit dem quadrat nicht.
ich kann mit der gerade s nichts anfangen
zuerst war ich der meinung dass der durchmesser einfach der abstand zwischen z-achse zu e2 sein muss..würde dann aber wie ultrix davon augehen, dass die gerade also der abstand, senkrecht zur ebene und zur y-achse steht.

davon kann man doch aber nicht einfach ausgehen oder, weil ja nicht definiert ist, dass beide berührpunkte auf "gleicher höhe" liegen.

kannst du mir diesen teil vllt nochmal genauer erklären?
dankeschön schonmal
rainbow89
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Anmeldungsdatum: 15.06.2008
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 00:17:57    Titel:

obwolh mir gerade auffällt, das ich ja bei den koordinaten des berührpunktes mit e2 auf eine x3-koordinate von m3 komme.
auch wenn ich den fußpunkt einer hilfsebene durch m senkrecht zur x3-achse berechne, komme ich für die x3-koordinate auch auf m3..das der durchmesser dem abstand zwischen e2 und x3-achse entspricht ist also doch richtig?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 00:33:29    Titel:

.
Zitat:
leider versteh ich das mit dem quadrat nicht.

in welchen Punkten scheidet denn E2 die x - bzw die y-Achse?
die Verbindung dieser beiden Punkte liegt dann in der xy-Ebene und ist die Gerade s von oben..

die z-Achse ist parallel zu E2
also kannst du doch einen beliebigen Punkt der z-Achse , zB: (0/0/0) , nehmen
und dessen Abstand von E2 berechnen.

wenn dir der einfache Weg mit dem in der xy-Ebene liegenden Quadrat nicht gefällt :
du kannst den Abstand Punkt→ E2 auch mit zB der HesseNormalform von E2 rechnen ..usw

aber nochmal: versuche dir das alles zB mit einer Zeichnung/Skizze zu veranschaulichen
oder wähle im Raum deines Zimmers drei Kanten als Koordinatenachsen (Boden=xy-Ebene)..
und stelle die entsprechenden Ebenen da mal rein Wink
.
rainbow89
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Anmeldungsdatum: 15.06.2008
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2009 - 00:41:25    Titel:

ok dankeschön habs jetzt verstanden...
ich hatte mir nur vorher nicht klar gemacht, dass beide berührpunkte ja auf gleicher höhe liegen müssen, da die kugel sonst die x3-achse und die ebenee2 schneidet und nicht berührt. dann kann man den abstand berechnen, wie das geht weiß ich ja eigentlich.
ich danke dir.
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