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Basiswechsel durch Matrix bei Nicht-Standardbasen
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cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 01 März 2009 - 22:15:53    Titel: Basiswechsel durch Matrix bei Nicht-Standardbasen

Angenomen ich habe im selben Vektorraum zwei verschiedene Basen [; X ;] und [; Y ;] und möchte zwischen diesen umrechnen. Dann kann ich ja eine Matrix [; T_Y^X ;] findet, mit der das geht, zumindest von [; X ;] nach [; Y ;]. Die umgekehrte Richtung wäre dann ja [; T_Y^X ;] invertiert.
Wie bekomme ich die Transformationsmatrix?

Ich denke, zuerst eine Matrix aus den Basisvektoren von [; X ;] als Spalten bilden und dann die Inverse davon berechnen. Das wäre ja die Transformationsmatrix [; M_E^X ;] von [; X ;] in die kanonische Basis. Wenn ich jetzt noch nach [; Y ;] will, muss ich die invertierte Matrix nur noch mit einer Matrix [; M_Y ;] bestehend aus den Basisvektoren von [; Y ;] als Spalten multiplizieren, oder?

Also ist [; T_Y^X = M_Y \cdot M_E^X ;].

Stimmt das so? Geht es auch schneller? Ich glaube mal irgendwo gesehen zu haben, dass man die Spalten von [; Y ;] mit den Spalten von [; X ;] gleichsetzt und eine der beiden Matrizen auf die Einheitsmatrix bringt. Aber ich bin mir nicht sicher, ob das dem Basiswechsel gedient hat und wie es genau funktioniert.
ehos
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Anmeldungsdatum: 08.01.2009
Beiträge: 87
Wohnort: Vorpommern

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 09:09:08    Titel:

Fasse deine beiden bekannten Basen formal als Zeilen einer Matrix B bzw. B’ auf Dann suchst du die Transformationsmatrix M, so dass gilt

B’=MB_____(1)

Um M zu bekommen, multiplizierst du (1) von rechts mit der inversen Matrix B^(-1). Dann wird aus (1)

B’B^(-1)=M

Damit haben wir die gesuchte Matrix M.

Manchmal will man auch wissen, wie sich bei diesem Basiswechsel von B zu B’ die Koordinaten der Vektoren transformieren. Das geschieht wie folgt:

Sei x der Koordinatenvektor bezüglich der Basis B und x’ der gesuchte Koordinatenvektor x’ desselben Vektors bezüglich der neuen Basis B’. Dann gilt zwischen beiden folgender Zusammenhang

x’=M^(T-1)x

Die Transformationsmatrix M^(T-1) zwischen den Koordinaten ist also die Transponierte der Inversen von M. Diese Matrix M^(T-1) bezeichnet man als die kontragrediente Matrix zu M. Mit anderen Worten: Die Basis und die Koordinaten transformieren sich kontragredient. Das Wort „kontragredient“ bedeutet auf deutsch „gegenläufig“ (kontra=gegen; gressus=Schritt).
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