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äquivalenzrelation
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goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 17:26:53    Titel: äquivalenzrelation

Hallo, ich habe folgende aufgabe

Es sei (G, ·) eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe
von G. Für g, h ∈ G definieren wir
g ~ h :<=> ∃ x ∈ U : x^−1 * g * x = h.
Zeige, daß ~ eine Äquivalenzrelation auf G definiert.

Ich glaube ich versuche das falsch zu lösen also schreib ich einfach mal was ich mir denke und ihr sagt was ihr davon haltet, okay?
Also,
reflexiviät: g~g zu zeigen g~g
wenn g~g => ∃ x ∈ U : x^−1 * g * x = x mal x^-1 von rechts und mal x von links
=> x*x^-1 * g * x*x^-1 = x*g*x^-1
=> g = x*g*x^-1
=> g~g
symetrie: g~h zu zeigen h~g
wenn g~h => ∃ x ∈ U : x−1 * g * x = h mal x^-1 von rechts und mal x von links
=> g = x*h*x^-1
=> g~h
transivität: g~h und h~i zu zeigen g~i
wenn g~h => ∃ x ∈ U : x−1 * g * x = h
wenn h~i => ∃ x ∈ U : x−1 * h * x = i stelle diese gleichung nach h um
=> h= x*i*x^-1 und setzte diese gleich mit x−1 * g * x = h

und ich komme nicht weiter
ist das was ich gemacht hab überhaupt zulässig?
gruß alex
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 17:33:22    Titel:

Transitivität würd ich etwas anders machen, da das x bei g und h nicht unbedingt dasselbe sein muss.

g~h und h~i gegeben, also
∃ x ∈ U : x^−1 * g * x = h
∃ y ∈ U : y^−1 * h * y = i

Setze den Ausdruck für h aus der ersten Zeile in die zweite Zeile ein:
y^−1 * x^−1 * g * x * y = i

--> Es existiert also ein z = x*y, so dass (xy)^-1 * g * xy = i
--> g~i

Der Term y^-1 * x^-1 müsste dabei dasselbe wie (xy)^-1, so kenn ich's zumindest von Matrizen, ich glaube, dass sich das 1:1 überträgt.
goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 17:38:29    Titel:

okay, danke. Sieht plausibel aus.
y^-1 * x^-1 = (xy)^-1 kenne ich auch so, es sein denn es handelt sich um eine abelsche gruppe aber das is hier ja nicht.
danke nochmal
gruß alex
goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 18:02:49    Titel:

ich habe da noch ein kleines beispiel das wir in einer übung gerechnet haben und ich durchschau etwas nicht so ganz.
x~y <=> x*y ist gerade
es soll geprüft werden ob dies eine är. auf den ganzen zahlen darstellt.
zur reflexivität haben wir da ein gegenbeispiel angegeben:
x=3 => 3*3=9 ist ungerade
hm, das is doch aber garnicht die aufgabe oder?
ich meine natürlich ist 9 nicht gerade, aber in diesem fall ist es ja auch keine är. nach der definition oder?
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 18:08:18    Titel:

Richtig, da die Relation schon nicht reflexiv ist, kann es keine Äquivalenzrelation sein!
goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 18:13:31    Titel:

also nur damit ich mich nicht falsch ausdrücke:
x~y<=>x*y ist gerade
ich kann doch jetzt nicht schon von zwei zahlen ausgehen die multipliziert überhaupt nicht gerade sind und dann sagen ich hab ein gegenbeispiel oder?
jayjay83
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Anmeldungsdatum: 15.12.2008
Beiträge: 346

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 18:17:51    Titel:

Wenn du eine ganze Zahlen findest, für für die nicht zRz gilt, bist du doch durch. Wenn es eine ÄR über den ganzen Zahlen sein soll, dann müsste es ja auch für alle ganzen Zahlen gelten...

Gruß JJ
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 18:19:54    Titel:

Das kommt darauf an, auf welcher Menge die Relation definiert ist. Wenn x,y reelle Zahlen sein sollen, hast du mit x = 3 natürlich ein Gegenbeispiel für Reflexivität gefunden, woran du erkennst, dass es keine Äquivalenzrelation ist.

Wenn die zugrundeliegende Menge natürlich nur aus geraden Zahlen bestehen soll, liegt der Fall schon ganz anders...

Edit: Sorry, meinte natürlich auch nicht reelle Zahlen, sondern ganze Zahlen!
goe.alexander
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Anmeldungsdatum: 21.05.2007
Beiträge: 262

BeitragVerfasst am: 02 März 2009 - 18:31:19    Titel:

okay, hab ich verstanden.
danke
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