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Kugel und Gerade ?
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Gast







BeitragVerfasst am: 29 Apr 2005 - 19:35:44    Titel: Kugel und Gerade ?

Ich bräuchte ganz dringen Hilfe bei einer Aufgabe und wäre euch für Hilfe wirklich sehr dankbar!
Lösungsansätze hab ich vll schon...

Aufgabe:

Gegeben sind die Kugeloberfläche K und die Gerade gp.

K: x * x = 15

gp: x = (1; 1; p) + µ (0; 1; 0)

a) Bestimme p so, dass der Geraden gp Tangenten an die Kugeloberfläche sind.

Hm, bisher haben wir an eine Kugel nur Tangentialebenen aufgestellt mittels der Formel r2 = MX * MA
Aber wie funktioniert das mit Tangenten?? Ist es richtig die Gerade in
die Kugelgleichung einzusetzen und nach p aufzulösen, p dann wieder
in die Gerade einzusetzen und den genauen wert zu ermitteln?
Mit zwei Variablen ziemlich schwer...

b) Zeige, dass die zwei in a) gefundenen Tangenten zueinander Parallel sind.

Da bin ich mir eigentlich recht sicher wie es geht:
-> die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit überprüfen
-> wenn linear angängig sind sie parrallel oder identisch
-> gleichsetzen, wenn man keinen Schnittpunkt erhält parallel oder Punktprobe

c) Berechne den kürzesten Abstand dieser beiden Tangenten.

hm, wahrscheinlich bestimmt man erstmal den Normalenvektor, der senkrecht auf den beiden Geraden steht.
hm, ja dann weiß ich nicht so recht, stellt man eine
Ebene auf die von einem Richtungsvektor und dem Vektor n erzeugt wird ?
Dann würde ich den Schnittpunkt D der anderen Gerade mit der Ebene berechnen durch einsetzen?
Eine Lotgerade durch D zur anderen Gerade aufstellen.
Den Schnittpunkt S der Lotgeraden und g berechnen und
schließlich den Abstand zwischen S und D?

Geht das? Gehts auch einfacher? *g*

d) Enthält ein gemeinsames Lot der beiden Tangenten einen Durchmesser der Kugeloberfläche?

ich denk mal damit ist gemeint ob sie sich genau an gegenüber stehenden seiten der Kugel befinden. Wenn das so ist müsste der Abstand der Durchmesser der Kugel sein?

f) Bestimme die Schnittgerade und die gegenseitige Neigung dieser Tangentialebenen.
Was ist mit Neigung gemeint? Welche Tangentialebenen überhaupt, vorher
war noch die Rede von Tangenten...

Ich weiß die Aufgabe ist ziemlich umfangreich, aber es ist wirklich sehr sehr wichtig, möglicherweise muss ich sie vor der Klasse präsentieren...
Wäre schön, wenn ihr sie mir möglichst kleinschrittig erklären
könntet...

Liebe Grüße
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 30 Apr 2005 - 00:12:49    Titel:

zu a)

Der Tangentialpunkt der Tangente mit dem Kreis ist Xt.

Du hast folgende Bedingung Xt* (0/1/0) = 0 => y = 0
Der Richtungsvektor der Tangente ist senkrecht zum Ortsvektor der Kugel

Wenn y = 0 dann ist 1+µ = 0 => µ = -1
Die Angabe folgt aus der Tangentengleichung (x,y,z) = (1; 1; p) + µ (0; 1; 0)

Und der Tangentialpunkt muss die Kugelgleichung erfüllen.
Xt = (1/1/p) + (0/-1/0) = (1/0/p)
Xt*Xt=15 = (1/0/p)*(1/0/p) = 1+p² => p = +-Wurzel(14)

Tangente 1
x = (1/1/Wurzel(14) + µ(0/1/0)

Tangente 2
x = (1/1/-Wurzel(14) + µ(0/1/0)

zu b) richtig

zu c)
Bestimme den Abstand eines Punktes der Tangente1 zur Tangent2. Da die Tangenten parallel sind hast du somit den Abstand.

In diesem Fall ist der Abstand 2*Wurzel(14)

Gruß
Dirk
Gast







BeitragVerfasst am: 30 Apr 2005 - 22:58:08    Titel:

könnte mir noch jemand helfen, wie ich schnittgerade und neigung der
beiden Tangentialebenen berechnen könnte;

F: 15= x1 + Wurzel14 x3

E: 15= x1 - Wurzel14 x3
Gast







BeitragVerfasst am: 30 Apr 2005 - 23:29:21    Titel:

wäre ziemlich wichtig fürs abi :-/
DMoshage
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 01 Mai 2005 - 01:02:58    Titel:

Also der Schnittwinkel ergibt sich aus

cos (phi) = N1*N2/(|N1|*|N2|)

N1 und N2 sind die Normalenvektoren der beiden Ebenen.

In diesem Fall (1;0;Wurzel(14)) und (1;0;-Wurzel(14))


Die Schnittgerade erhält man wie folgt.

(1)1x+Wurzel(14)z=15
(2)1x-Wurzel(14)z=15

Gleichungssystem lösen. Y ist beliebig
(1)-(2)= 2Wurze(14)z = 0 => z=0 und x = 15

Schnittgerade ist g:(0/0/15) * t(0/1/0)

siehe auch hier
http://sites.inka.de/picasso/Heneka/ebenen.htm
und hier
http://www.matheboard.de/mathe-tipp-zeigen,Ebene_vs._Ebene.htm

Gruß
Dirk
Gast







BeitragVerfasst am: 02 Mai 2005 - 15:22:37    Titel:

Vielen Dank für deine Hilfe, das ist sehr nett von dir.
Eine Frage hätte ich dann doch noch, wie kommst du auf den richtungsvektor der schnittgerade, der Aufpunkt is mir klar.
Danke Smile
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