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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 13 März 2009 - 11:16:27    Titel: Alle Lösungen einer DGL finden

Liebes Forum

es geht um folgende Aufgabe:
Zitat:

Sei folgende DGL gegeben:

x''(t) + 2x'(t) + 5x(t) = 1 + t + t²

i)Partikuläre Lösung finden
Finden Sie eine part. Lösung x_p unter Verwendung des Ansatzes: x_p(t) = a0+a1*t+a2*t^2, wobei a0-2 Konstante sind.

ii) Bestimmen Sie alle Lösungen der DGL.
iii) Bestimmen Sie die Lösung, die die Anfangsbedingungen x(0) = 1 und x'(0) = 2 erfüllt.


zu ii)
Ich habe zuerst das charakteristische Polynom bestimmen und dafür

L1 = -1 + 2i
L2 = -1 - 2i

bekommen.

Wie gehts nun weiter?

oder anders gefragt:

Was ist der Zusammenhang zwischen

X(L) = L²+bL + c
und
x''(t) + 2x'(t) + 5x(t) = 0
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 13 März 2009 - 11:32:28    Titel:

Das char. Polynom entsteht, weil du den Exp.-Ansatz e^(L*t) einsetzt.

Wenn du nun fuer L

L1 = -1 + 2i
L2 = -1 - 2i

herausbekommst, heisst dass, dass e^[(-1+2i)t] und e^[(-1-2i)t] Loesungen sind. Diese sind allerdings komplex. Um reelle Loesungen zu erhalten, musst du es mittels Eulerformel umschreiben in das Produkt von exp und sin bzw. cos.
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Anmeldungsdatum: 28.01.2007
Beiträge: 348
Wohnort: Nerdpol

BeitragVerfasst am: 13 März 2009 - 11:41:25    Titel:

Zitat:
Um reelle Loesungen zu erhalten, musst du es mittels Eulerformel umschreiben in das Produkt von exp und sin bzw. cos.

Hmm, wir haben im Kurs noch gar keine komplexen Zahlen behandelt (mit Ausnahme von sqrt(-1) = i ). Wie komme ich auf das gewünschte Resultat?
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