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Extremstellen Berechnung bei trigonometrischen Funktionen
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muzzi90
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Anmeldungsdatum: 14.03.2009
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 14 März 2009 - 12:59:42    Titel: Extremstellen Berechnung bei trigonometrischen Funktionen

Hallo ihr Lieben..
Ich stehe kurz vorm Abitur und das Thema mit den trigonemetrischen Funktionen verstehe ich einfach nicht.
Die Aufgabe lautet:

Gegeben ist die Funktion 3sin(0,5x)

Bestimmen sie alle Extremstellen dieser Funktion.




Ich habe zwar ein Lösungsbuch, was dort jedoch drinsteht verstehe ich nicht. Wie sind denn die allgemeinen Schritte um zu den Extremstellen solch einer Funktion zu gelangen?

1. Ableitung und 2. Ableitung bilden hab ich noch.
Und dann z.B. für die Berechnung eines Hochpunktes, die 1. Ableitung = 0 setzen. Aber wie mache ich das, dass dann herauskommen soll: x = Pi, 3Pi und 5 Pi?


Vielen vielen Dank schonmal im voraus!!!
TyrO
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Anmeldungsdatum: 14.05.2007
Beiträge: 3995

BeitragVerfasst am: 14 März 2009 - 15:53:40    Titel:

f(x) = 3sin(0,5x)
f'(x) = 3cos(0,5x)*0.5 = 1.5cos(0,5x)

Nun haben wir

0 = 1.5cos(0,5x)
0 = cos(0,5x)

Jetzt substituierst du das Argument im Sinus.

z = 0.5x

<=>

0 = cos(z)

Jetzt weißt du bestimmt aus der 10. Klasse, oder auch, wenn du dir die Kosinus-Funktion skizzierst, dass der Cosinus unendlich viele Nullstellen hat, da er eine periodische Funktion ist. Die ersten positiven Nullstellen sind pi/2, 3*pi/2, 5*pi/2...allgemein (2k+1)*pi/2 mit k € N0

0 = cos(z)
(2k+1)*pi/2 = z

Rücksubstitution:

(2k+1)*pi/2 = 0.5x
x = (2k+1)*pi
muzzi90
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Anmeldungsdatum: 14.03.2009
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 15 März 2009 - 09:59:16    Titel:

Deine Ableitung ist falsch!
Die erste Ableitung lautet: f'(x) = cos(1/2x)
f''(x) = - 1/2 sin(1/2x)

.....
Florian222
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Anmeldungsdatum: 03.03.2009
Beiträge: 86
Wohnort: Nordhessen

BeitragVerfasst am: 15 März 2009 - 10:47:43    Titel:

seine 1. Ableitung ist richtig!

siehe Kettenregel(äußere Ableitung mal innere Ableitung)

innere: (0,5x), äußere sin(y)

=> f(x)=3*sin(0,5x)
<=>f'(x)=3* 0,5(<-innere Ableitung) * cos (0,5x) (<- äußere Ableitung)
<=> =1/2*cos (0,5x)
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