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Integral von e^2x cos(e^x)?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Integral von e^2x cos(e^x)?
 
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Zephania
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Anmeldungsdatum: 03.11.2008
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BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 14:43:55    Titel: Integral von e^2x cos(e^x)?

Ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll. Soll ich hier Substitution oder Partielle Integration verwenden. Und wenn Substitution was würdet ihr hier substituieren das e^x das e^2x oder das cos? Soll man hier vielleicht beides verwenden also partielle Integration mit Substitution.
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
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BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 14:51:31    Titel:

Substitution mit u=e^x macht das Ganze auf jeden Fall übersichtlicher. Wenn du das gemacht hast, siehst du auch, wie du weiter vorgehen kannst Smile .
Zephania
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Anmeldungsdatum: 03.11.2008
Beiträge: 100
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BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 14:59:03    Titel:

Aber wenn ich e^x substituiere und e^x= u setze was passiert dann mit e^2x ist es u^2 ? außerdem ist die Ableitung von e^x auch e^x somit müsste ich dann den ganzen Ausdruck durch e^x teilen was nicht wirklich hilfreich wäre.
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 15:11:08    Titel:

Zitat:
außerdem ist die Ableitung von e^x auch e^x somit müsste ich dann den ganzen Ausdruck durch e^x teilen was nicht wirklich hilfreich wäre.

Doch!
e^(2x)=e^(x*2)=(e^x)^2
Was passiert, wenn man das durch e^x teilt?
Zephania
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Anmeldungsdatum: 03.11.2008
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BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 15:16:36    Titel:

Wenn es so ist, verschwindet dass 1/e^x und die Gleichung würde e^x cos u lauten. Somit könnte man jetzt partielle Integration anwenden.
Behind These Walls
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Anmeldungsdatum: 14.01.2007
Beiträge: 203

BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 15:21:45    Titel:

Wenn du mit u = e^x substituierst, brauchst du nicht die Ableitung von e^x.
Mindworm
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Anmeldungsdatum: 04.11.2007
Beiträge: 1064

BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 15:25:11    Titel:

Zitat:
Wenn du mit u = e^x substituierst, brauchst du nicht die Ableitung von e^x.

Ähm.. doch? Man will ja nicht einfach u in der Gleichung haben, man möchte das dx durch du ersetzen. Und das geht so:
u=e^x
u'=du/dx=(e^x)'
dx=du/(e^x)'
@Zephania: Es stimmt alles, vergiss nur nicht, das e^x zu ersetzen.
Zephania
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Anmeldungsdatum: 03.11.2008
Beiträge: 100
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 15:30:21    Titel:

Doch, denn wenn ich Substituiere, muss ich doch du also die Ableitung von u bilden um dann dx herauszufinden. Ich muss also danach den Ganzen Ausdruck durch du teilen.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
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BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 15:32:16    Titel: Substitution & partielle Integration

Ja, das kommt gut raus.

Die Integranden sind Produkt aus Stammfunktion und innerer Ableitung der Stammfunktion (Kettenregel rückwärts; Substitution):
Code:
   ∫exp(x)·cos{exp(x)} ·dx = sin{exp(x)}                    (+const).               [¹]
  -∫exp(x)·sin{exp(x)} ·dx = cos{exp(x)}                    (+const).               [²]

Partielle Integration:
Code:
  ∫exp²(x) ·cos{exp(x)} ·dx =  ∫exp(x) ·exp(x)·cos{exp(x)} ·dx = exp(x) ·sin{exp(x)} -∫exp(x) ·sin{exp(x)} ·dx    [²]
                                   ↓           ↑
                                 exp(x)         sin{exp(x)}     
                                              [¹]
Zusammenfassung:
Code:
  ∫exp²(x) ·cos{exp(x)} ·dx =   exp(x) ·sin{exp(x)} +cos{exp(x)} +const.
Zephania
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Anmeldungsdatum: 03.11.2008
Beiträge: 100
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 24 März 2009 - 15:44:29    Titel:

Stimmt dann lautet die Gleichung Integral 1/du*u^2 cos u. Da hier die Ableitung von u also du =u ist weil die Ableitung von e^x=e^x ist lautet die Gleichung u cos u. Und jetzt kann man partielle Integration benutzen. Somit spart man sich das zweimalige partielle Integrieren. Und es kommt tatsächlich e^x sin(e^x)+cos(e^x) für die Stammfunktion raus. Vielen Dank für den hinweis das e^2x auch (e^x)^2 ist. Noch mal Danke
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