Stammfunktion finden zum folgenden integral

Deaveroon · Newbie Anmeldungsdatum: 08.12.2008 Beiträge: 4

ich muss die stammfunktion zu

integralzeichen 1/(1+cos(x)) dx finden!

nun denn: die lösung habe ich vor mir liegen, und zwar:

x= 2arctan(t) => cos(x)= 1-t² / 1+t²
dx= 2/ 1+t² dt

das sind die schritte die ich nicht verstehe ..
wie kommt man auf so ne idee?
wie sehen die umformungen genau aus? und welche gesetze benutzt er?
das folgende ist nur einsetzen und letzendlich ergibt sich
nach vereinfachen

integralzeichen 1 dt = t = tan(x/2)
somit ist die stammfunktion tan(x/2)

so far so good, hoffentlich erklärts mir jemand :)

xeraniad · Senior Member Anmeldungsdatum: 29.01.2008 Beiträge: 1890 Wohnort: Atlantis

Vorbereitungen.
Aus dem cos(·) -Additionstheorem folgt cos(2·φ) = cos²(φ)-sin²(φ) = 2·cos²(φ)-1 [1].
Mit t = tan(φ), c = cos(φ) und s = sin(φ) folgt t² = s²÷c² = (1-c²)÷c², c²·t² = 1-c², c²·(1+t²) = 1 und daher cos²(φ) = 1÷[1+tan²(φ)] [2].
Aus [1] folgt cos²(φ) = ½·[1+cos(2·φ)] [3].
--
Mit mathefans Substitution t := tan(½·x) folgt x = 2·atan(t) und dx = 2÷(1+t²) ·dt.
Gemäss [1] ist cos(x) = cos{2·atan(t)} = 2·cos²{atan(t)} -1.
Mit [2] ergibt sich cos(x) = 2· 1÷[1+tan²{atan(t)}] -1 = 2÷(1+t²) -1.
--
Damit wird aus ∫1÷[1+cos(x)]·dx neu ∫1÷[1 +2÷(1+t²)-1]· dx = ∫(1+t²)÷2 ·2÷(1+t²) ·dt = ∫ 1 ·dt = t +const.
--
Die Rücksubstitution ergibt ∫1÷[1+cos(x)]·dx = tan(½·x) +const.
--
Verifikation.
Die Ableitung ist d÷dx{tan(½·x)} = ½·{1+tan²(½·x)} = ½·{cos²(½·x) + sin²(½·x)]÷[cos²(½·x)} = ½ ·1÷{cos²(½·x)}; mit [3] folgt d÷dx{tan(½·x)} = ½ ·1÷{½·[1+cos(x)]} = 1÷[1+cos(x)].
--
Erklären, wie man auf sowas kommt, kann ich nicht wirklich gut; gestatte mir aber an dieser Stelle wieder mal einen Link auf meine bevorzugte Literatur zu diesem Thema.

mathefan · Valued Contributor Anmeldungsdatum: 17.12.2005 Beiträge: 8792

.
hi xeraniad

xeraniad · Senior Member Anmeldungsdatum: 29.01.2008 Beiträge: 1890 Wohnort: Atlantis

das Auflösen nach x ist nicht erforderlich: t := tan(½·x) → dt÷dx {= ½·[1+tan²(½·x)]} = 1÷[2·cos²(½·x)] → dx = 2·cos²(½·x) ·dt und das "2·cos²(½·x)" bzw. "1+cos(x)" ist gerade der Reziprokwert des Integranden.

ultrix · Full Member Anmeldungsdatum: 21.12.2008 Beiträge: 323 Wohnort: Heidelberg

Ich hätte auch noch einen anderen Vorschlag:

1/(1+cos(x))
=(1-cos(x))/(1-cos²(x))
= 1/(1-cos²(x)) - cos(x)/(1-cos²(x))
= 1/sin²(x) -cos(x)/(1-cos²(x))
= 1/sin²(x) -cos(x)/sin²(x)

Stammfunktion zu 1/sin²(x) ist einfach der -cot(x), ich gehe einfach mal davon aus, dass man die Abelitung der grundlegenden trigonometrischen Funktion kennt.

Integral( (cos*1/(sin(x))^2 ) dx)
Hier kann man Integration durch Substitution durchführen, wobei g=sin(x)
Integral( (cos*1/(sin(x))^2 ) dx)
= Integral( (1/g²) dg ) = [-1/g] = -1/sin(a) + 1/sin(b) , wenn a und b die Grenzen für x sind.
Jetzt fassen letzten Ausdruck in den Grenzen a und b zusammen:
Integral( (cos(x)*1/(sin(x))^2 ) dx) = [-1/sin(x)]

Es gilt also ingesamt:
Integral (1/(1+cos(x))) dx = [-cot(x) - 1/sin(x)]= [-(cos(x) - 1)/sin(x)]
=[(1-cos(x))/sin(x)] = [tan(x/2)]

tan(x/2) ist somit die gesuchte Stammfunktion

Die Formel für den letzten Schritt steht bei uns in der Formelsammung, lässt sich aber folgendermaßen herleiten. Ich setze dabei die aus den allgemeinen Formeln für sin(a+b) und cos(a+b) herleitbaren Beziehungen
sin(x) = 2*sin(x/2)*cos(x/2) und cos(x) = cos²(x/2) - sin²(x/2)
als gegeben vorraus:
Zunächst gilt:
cos(x) = cos²(x/2) - sin²(x/2) = cos²(x/2) + sin²(x/2) - 2sin²(x/2)
= 1 - 2*sin²(x/2) = 2*cos²(x/2) -1

(1-cos(x))/sin(x) = (sin(x) -cos(x)*sin(x))/sin²(x)
= (sin(x) -cos(x)*sin(x))/(1-cos²(x))
= (sin(x) -cos(x)*sin(x))/( (1-cos(x))*(1+cos(x)) )
= sin(x)/(1+cos(x))
= 2*sin(x/2)*cos(x/2)/(1+cos(x))
= 2*sin(x/2)*cos²(x/2)/( (1+cos(x)) *cos(x/2) )
= sin(x/2)*(1+cos(x))/( (1+cos(x)) *cos(x/2) )
= tan(x/2)

ultrix · Full Member Anmeldungsdatum: 21.12.2008 Beiträge: 323 Wohnort: Heidelberg

Und noch eine schnellere, aber ähnliche Herleitung:

1/(1+cos(x)) = 1/(1+2cos²(x/2) -1) = 1/(2cos²(x/2))
Integral( (1/(2cos²(x/2))) dx) = Integral( 1/cos²(g) dg ) mit g=0.5x
Integral( 1/cos²(g) dg ) = [tan(g)] = tan(g(a)) -tan(g(b)) = [tan(x/2)] in den Grenzen von a und b. Somit ist tan(x/2) eine Stammfunktion.