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Stammfunktion finden zum folgenden integral
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Deaveroon
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Anmeldungsdatum: 08.12.2008
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 17:20:30    Titel: Stammfunktion finden zum folgenden integral

ich muss die stammfunktion zu

integralzeichen 1/(1+cos(x)) dx finden!

nun denn: die lösung habe ich vor mir liegen, und zwar:

x= 2arctan(t) => cos(x)= 1-t² / 1+t²
dx= 2/ 1+t² dt

das sind die schritte die ich nicht verstehe ..
wie kommt man auf so ne idee?
wie sehen die umformungen genau aus? und welche gesetze benutzt er?
das folgende ist nur einsetzen und letzendlich ergibt sich
nach vereinfachen

integralzeichen 1 dt = t = tan(x/2)
somit ist die stammfunktion tan(x/2)

so far so good, hoffentlich erklärts mir jemand :)
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 17:39:21    Titel: trig. Substitution

Vorbereitungen.
Aus dem cos(·) -Additionstheorem folgt cos(2·φ) = cos²(φ)-sin²(φ) = 2·cos²(φ)-1 [1].
Mit t = tan(φ), c = cos(φ) und s = sin(φ) folgt t² = s²÷c² = (1-c²)÷c², c²·t² = 1-c², c²·(1+t²) = 1 und daher cos²(φ) = 1÷[1+tan²(φ)] [2].
Aus [1] folgt cos²(φ) = ½·[1+cos(2·φ)] [3].
--
Mit mathefans Substitution t := tan(½·x) folgt x = 2·atan(t) und dx = 2÷(1+t²) ·dt.
Gemäss [1] ist cos(x) = cos{2·atan(t)} = 2·cos²{atan(t)} -1.
Mit [2] ergibt sich cos(x) = 2· 1÷[1+tan²{atan(t)}] -1 = 2÷(1+t²) -1.
--
Damit wird aus ∫1÷[1+cos(x)dx neu ∫1÷[1 +2÷(1+t²)-1dx = ∫(1+t²)÷2 ·2÷(1+t²) ·dt = ∫ 1 ·dt = t +const.
--
Die Rücksubstitution ergibt ∫1÷[1+cos(x)]·dx = tan(½·x) +const.
--
Verifikation.
Die Ableitung ist d÷dx{tan(½·x)} = ½·{1+tan²(½·x)} = ½·{cos²(½·x) + sin²(½·x)]÷[cos²(½·x)} = ½ ·1÷{cos²(½·x)}; mit [3] folgt d÷dx{tan(½·x)} = ½ ·1÷{½·[1+cos(x)]} = 1÷[1+cos(x)].
--
Erklären, wie man auf sowas kommt, kann ich nicht wirklich gut; gestatte mir aber an dieser Stelle wieder mal einen Link auf meine bevorzugte Literatur zu diesem Thema.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 26 März 2009 - 10:52:02, insgesamt einmal bearbeitet
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 18:29:08    Titel:

.
hi xeraniad

Zitat:
Mit mathefans Substitution t := tan(½·x) folgt x = 2·atan(t) und ..

du kannst es fast noch etwas einfacher haben:
es ist ja 2*cos²(x/2) = 1+cos(x)

und mit t := tan(½·x) folgt dt= (1/(2*cos²(x/2))*dx = dx/(1+cos(x))

also: ∫(dx/(1+cos(x))) -> ∫1*dt = t+c

∫(dx/(1+cos(x))) = tan(½·x) + c Smile
.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 18:49:06    Titel: Ja,

das Auflösen nach x ist nicht erforderlich: t := tan(½·x) → dt÷dx {= ½·[1+tan²(½·x)]} = 1÷[2·cos²(½·x)] → dx = 2·cos²(½·x) ·dt und das "2·cos²(½·x)" bzw. "1+cos(x)" ist gerade der Reziprokwert des Integranden.
Zitat:
wie kommt man auf so ne idee?

Erfahrung, Intuition, ... Question
ultrix
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Anmeldungsdatum: 21.12.2008
Beiträge: 323
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 21:54:03    Titel:

Ich hätte auch noch einen anderen Vorschlag:

1/(1+cos(x))
=(1-cos(x))/(1-cos²(x))
= 1/(1-cos²(x)) - cos(x)/(1-cos²(x))
= 1/sin²(x) -cos(x)/(1-cos²(x))
= 1/sin²(x) -cos(x)/sin²(x)

Stammfunktion zu 1/sin²(x) ist einfach der -cot(x), ich gehe einfach mal davon aus, dass man die Abelitung der grundlegenden trigonometrischen Funktion kennt.

Integral( (cos*1/(sin(x))^2 ) dx)
Hier kann man Integration durch Substitution durchführen, wobei g=sin(x)
Integral( (cos*1/(sin(x))^2 ) dx)
= Integral( (1/g²) dg ) = [-1/g] = -1/sin(a) + 1/sin(b) , wenn a und b die Grenzen für x sind.
Jetzt fassen letzten Ausdruck in den Grenzen a und b zusammen:
Integral( (cos(x)*1/(sin(x))^2 ) dx) = [-1/sin(x)]

Es gilt also ingesamt:
Integral (1/(1+cos(x))) dx = [-cot(x) - 1/sin(x)]= [-(cos(x) - 1)/sin(x)]
=[(1-cos(x))/sin(x)] = [tan(x/2)]


tan(x/2) ist somit die gesuchte Stammfunktion

Die Formel für den letzten Schritt steht bei uns in der Formelsammung, lässt sich aber folgendermaßen herleiten. Ich setze dabei die aus den allgemeinen Formeln für sin(a+b) und cos(a+b) herleitbaren Beziehungen
sin(x) = 2*sin(x/2)*cos(x/2) und cos(x) = cos²(x/2) - sin²(x/2)
als gegeben vorraus:
Zunächst gilt:
cos(x) = cos²(x/2) - sin²(x/2) = cos²(x/2) + sin²(x/2) - 2sin²(x/2)
= 1 - 2*sin²(x/2) = 2*cos²(x/2) -1

(1-cos(x))/sin(x) = (sin(x) -cos(x)*sin(x))/sin²(x)
= (sin(x) -cos(x)*sin(x))/(1-cos²(x))
= (sin(x) -cos(x)*sin(x))/( (1-cos(x))*(1+cos(x)) )
= sin(x)/(1+cos(x))
= 2*sin(x/2)*cos(x/2)/(1+cos(x))
= 2*sin(x/2)*cos²(x/2)/( (1+cos(x)) *cos(x/2) )
= sin(x/2)*(1+cos(x))/( (1+cos(x)) *cos(x/2) )
= tan(x/2)
ultrix
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Anmeldungsdatum: 21.12.2008
Beiträge: 323
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 25 März 2009 - 22:09:43    Titel:

Und noch eine schnellere, aber ähnliche Herleitung:

1/(1+cos(x)) = 1/(1+2cos²(x/2) -1) = 1/(2cos²(x/2))
Integral( (1/(2cos²(x/2))) dx) = Integral( 1/cos²(g) dg ) mit g=0.5x
Integral( 1/cos²(g) dg ) = [tan(g)] = tan(g(a)) -tan(g(b)) = [tan(x/2)] in den Grenzen von a und b. Somit ist tan(x/2) eine Stammfunktion.
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