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vollst.induktion
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hippi
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Mai 2005 - 22:23:32    Titel: vollst.induktion

summeformel für k=1 n Element vonN ,(3k-2)=0,5n(3n-1),
Gast







BeitragVerfasst am: 03 Mai 2005 - 09:01:20    Titel:

Vollständige Induktion? Shocked
Mit einfacher Umformung bekommt man die Lösung.

n
SIGMA(3k-2) = SIGMA(3k) - SIGMA(2) = 3*SIGMA(k) - 2n = 3*1/2*n(n+1) - 2n =
k=1

= 1/2*[3n(n+1) -4n] = 1/2*(3n² + 3n - 4n) = 1/2*(3n² - n) = 1/2*n(3n - 1)

Very Happy
hippi
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Mai 2005 - 20:02:35    Titel:

was ist denn Sigma?, ich muß es leider mit Induktion machen.
Hiob
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2005 - 03:08:26    Titel: Re: vollst.induktion

hippi hat folgendes geschrieben:
summeformel für k=1 n Element vonN ,(3k-2)=0,5n(3n-1),


Sigma ist das Zeichen der Summe, sieht etwa so aus wie ein im Uhrzeigersinn gedrehtes W.

Sei Sig(n, 3k-2) die Summe für k=1 bis n von (3k-2).

Beweis der Behauptung durch vollständige Induktion über n:
Induktionsanfang n=1:
Sig(n, 3k-2)=Sig(1, 3k-2)=3*1-2=1=0,5*1*2=0,5*1*(3*1-1)=0,5n(3n-1)
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n aus N gilt:
Sig(n, 3k-2)=0,5n(3n-1)
Induktionsschritt:
n -> n+1:
Sig(n+1, 3k-2) | Summeneigenschaft
=Sig(n, 3k-2) + 3*(n+1)-2 | Induktionsvoraussetzung
=0,5n(3n-1) + 3*(n+1)-2
=0,5n(3n-1) + 3n+1
=1,5nn-0,5n + 3n+1
=1,5nn+2,5n+1
=0,5*(3nn+5n+2)
=0,5*(n+1)(3n+2)
=0,5*(n+1)(3n+3-1)
=0,5*(n+1)(3*(n+1)-1)

Fertig.
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