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Taylorreihe - Intervallbestimmung
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Atheos
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Anmeldungsdatum: 17.06.2008
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2009 - 17:41:55    Titel: Taylorreihe - Intervallbestimmung

Hallo,

hab mir hier schon entliche Threads zu dem Thema durchgelesen, aber bin leider immer noch nicht ganz schlau aus denen geworden :/

Die allgemine Form der Taylorreihe ist mir bekannt ( f(a)+f'(a)/1!*(x-a)^1 + f''(a)/2!*(x-a)^2 + ...)

1) Die Taylorreihe wird dazu gebraucht um nährungsweise eine Umgebung von einem Punkt (hier:a) zu betrachten oder?

2) Wie kann man die Abweichung zur Funktion berechnen bzw. ab wann die Abweichung einen bestimmen Porozentwert überschritten hat?

Zur Hilfe darf ich den für Niedersachsen üblichen Rechner "TI-89" von Texas Instruments benutzen.

mfg
Atheos
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 14 Apr 2009 - 17:55:20    Titel:

Beispielsweise kann die Taylorreihe verwendet werden um eine funktion analytisch einzufuehren oder eine auf IR definierte funktion auf C zu erweitern. Ausserdem wird sie zur naeherungsweisen Berechnung von Funktionswerten genutzt.



Um die Differenz zwischen dem tatsaechlichen Funktionswert und dem Funktionswert des Taylorpolynoms abuschaetzen existieren verschiedene Formeln: http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln
Atheos
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Anmeldungsdatum: 17.06.2008
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2009 - 19:08:21    Titel:

Zitat:
Beispielsweise kann die Taylorreihe verwendet werden um eine funktion analytisch einzufuehren oder eine auf IR definierte funktion auf C zu erweitern. Ausserdem wird sie zur naeherungsweisen Berechnung von Funktionswerten genutzt.


Wozu näherungsweise bestimmen wenn man auch den konkreten Funktionswert bestimmen kann?
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2009 - 19:18:38    Titel:

Atheos hat folgendes geschrieben:
Wozu näherungsweise bestimmen wenn man auch den konkreten Funktionswert bestimmen kann?


Welchen Wert [Dezimal] hat denn e^1,5 [auf 5 Nachkommastellen genau]?
Atheos
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Anmeldungsdatum: 17.06.2008
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2009 - 19:24:28    Titel:

das könnte ich dir mit der taylorreihe auch nicht beantworten ^^
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 08:20:05    Titel:

Es geht aber, auch wenn es recht viel Rechenarbeit ist!
Atheos
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Anmeldungsdatum: 17.06.2008
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 12:04:03    Titel:

Hast du vll einen Beispielaufgabe, die nicht zu schwer ist, wo man sofort denkt: "Ahh, das löse ich mit der Taylorreihe!"

mfg
Atheos



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Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
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BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 12:42:23    Titel:

Beispielsweise laesst sich die Identitaet e^(x + y) = e^x * e^y mittels Taylorreihe und Cauchy-Produkt beweisen.
Atheos
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Anmeldungsdatum: 17.06.2008
Beiträge: 30

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 17:30:19    Titel:

Ja gut das wird wohl alles zu kompliziert ^^ Ich hab Mathe nur auf Grundkurs, da wird sowas wohl nicht drankommen ^^ Wie sähe denn eine typische Aufgabe aus, bei der man z.B. bei der Funktion f(x) die Umgebung von x=3 bestimmen sollte. Wie geht man vor?

mfg
Atheos
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 17:50:16    Titel:

"Die Umgebung von x = 3 berechnen" ergibt keinen Sinn. Du koenntest die Taylorreihe der Funktion f mit a = 3 als Entwicklungsstelle berechnen. Dazu berechnest du die allgemeine Formel fuer die n-te Ableitung von f und setzt dann a = 3 in diese ein. Danach musst du nur noch in die angegebene formel einsetzen.
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