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Beweis einer Summe
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McElko
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Anmeldungsdatum: 29.05.2007
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 18:48:13    Titel: Beweis einer Summe

Hallo zusammen,

kann mir jemand bei diesem Beweis helfen?

0 = sum( cos(2*Pi*k/n), k = 0 .. n-1)

-sum steht für das summenzeichen und k ist die variable der Summe

bei der vollständigen induktion habe ich das problem, dass im argument des cosinuses das n steht. damit ändert sich dieses argument während des induktionsschrittes.

Vielen dank im voraus!!!
H.K.
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 18:59:07    Titel:

cos(2pi * k/n) = Im(sin(2pi/n * k) + i * cos(2pi/n * k)) = Im((sin(2pi/n) + i * cos(2pi/n))^k)


Du erhaeltst eine geometrische Riehe deren Wert einfach zu berechnen sein sollte.



http://de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz
Paga
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Anmeldungsdatum: 19.11.2008
Beiträge: 155

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 19:00:32    Titel:

Du musst für den Induktionsschritt zwei Fälle unterscheiden, für gerade und ungerade n.

Noch ein Tipp: Der Cosinus ist symmetrisch zur achse y=Pi
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 19:02:31    Titel:

Das wird bei mir morgen ne Übungsaufgabe. Wink

Im übrigen geht es viel einfacher ohne Induktion...

Cyrix
McElko
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Anmeldungsdatum: 29.05.2007
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 19:15:15    Titel:

danke!!


die eigentliche aufgabe lautet:
Berechnen sie die komplexen zahlen!

sum(E, k=0..n-1) , wobei E=Ek die Wurzeln von z^n = 1 sind


damit komme ich auf: sum( exp (i*2*Pi*k/n) ; k=0..n-1)
das ergibt für verschiedene n immer 0 und das wollte ich nun beweisen.

geometrisch kann man das machen, indem man sagt, dass ein Kreis in der komplexen ebene mit r= 1 in n symmetrische teile geteilt wird (durch die wurzel) und diese werden ja dann aufaddiert und ergeben null.

Aber vielleicht ist mein rechenansatz ja schon falsch??
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 19:16:19    Titel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_einer_.28endlichen.29_Geometrischen_Reihe
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 19:18:33    Titel:

w eine von 1 verschiedene n-te Einheitswurzel:

sum[k=0...n-1]w^k=...
und dann benutz mal die Formel
McElko
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Anmeldungsdatum: 29.05.2007
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 20:46:42    Titel:

welche formel soll dann benutz werden? wie kann ich die geometrische reihe für meinen beweis nutzen?

thx
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24257

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 21:35:32    Titel:

Think simple!

Was ist das besondere an diesen Zahlen?


Und dann denke man nocheinmal an den Wurzelsatz von Vieta...


Cyrix
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