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Konvergenzradius
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jule7688
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Anmeldungsdatum: 08.01.2009
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 21:18:13    Titel: Konvergenzradius

Hey,
zu finden ist der Konvergenzradius der folgenden REihe:

inf
SUM (Ln(n)/n)*x^n
n=1

Laut Konvergenzradiusformel bleibt übrig:
r= LIM (ln(n)*(n+1)/(n* ln(n+1)) =1
n=>infinity

Meine Argumentation lautet: ln(n) <n, deswegen betrachte ich die Koeffizienten vor den höchsten Potenzen n^1 und diese sind 1/1.
Allerdings weiß ich nicht, ob das so mathematisch korrekt ist
Eigentlich haben wir ja einen Ausdruck der Form inf/inf und schreit nach L'Hospital, aber da bleibt ähnlihces stehen.
Bin mir ziemlich sicher, dass r=1
und die Betrachtung von x=-1 als Rand ist laut Leibniz konvergent.
Nur kann ich bei x=1 keine Entscheidung über Konvergenz treffen (laut Quotientenkrit)

Meine Frage: Wie argumentiere ich geschickt, dass ich r=1 gefunden hab und wie erhalte ich eine Aussage über die Konvergenz des Randpkts x=1??
Danke
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2009 - 09:35:40    Titel:

Zum Konvergenzradius: Versuchs mit dieser Form:
(ln(n) * (n + 1))/(n * ln(n + 1))
= (ln(n) * (1 + 1/n))/(ln(n + 1))


Du wendest einmal L'Hospital an, danach formst du um und erhaeltst drei Terme, deren Grenzwerte du getrennt mittels L'Hosital berechnen kannst.


x = 1:
Bedenke dass 1 < ln(n) [fuer n > 1] und somit gilt:
sum[n = 2 bis k]{1/n} < sum[n = 2 bis k]{ln(n)/n}
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