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Statistik - Geometrische Wahrscheinlichkeit
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öti
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Anmeldungsdatum: 11.01.2007
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 15 Apr 2009 - 22:23:55    Titel: Statistik - Geometrische Wahrscheinlichkeit

Servus zusammen,

Ich hab folgende Aufgabe:



Die kleine Skizze soll die Fläche darstellen, allerdings ist die entweder sehr ungenau gezeichnet oder falsch (von mir). Ich versteh zwar das Problem, aber nicht die Lösung. Mir ist nicht klar warum "die Bedingung eine Fläche definiert". Klar, es gibt eben nur bestimmte Zahlenpaare (a,b) für die die Bedingung zutrifft, aber warum muss ich da integrieren? Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
öti
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Anmeldungsdatum: 11.01.2007
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2009 - 21:08:28    Titel:

Ja ich weiß, is ne scheiss Aufgabe, aber vielleicht kann doch noch einer helfen.

Dass meine Skizze Müll ist, ist mir übrigens klar geworden Wink
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2009 - 06:30:59    Titel:

Also, du kannst a und b unabhängig voneinander wählen, d.h. die Menge aller möglichen Paare Omega = [0,1] x [0,1] ist das Quadrat von 0 bis 1 ("a-Achse") und von 0 bis 1 ("b-Achse"). Das ist deswegen eine Fläche, weil a und b ja reelle Zahlen sein sollen (denke ich zumindest), d.h. wirklich die ganze Fläche besteht aus möglichen Zahlenpaaren, es gibt keine "Löcher".
Jetzt wollen wir aus dieser Fläche alle Paare wissen, für die es eine Lösung der quadratischen Gleichung x² + ax + b = 0 gibt.

Wendet man die p-q-Formel an, erhält man x_1,2 = -a/2 +/- Wurzel((a/2)² - b). Damit die Gleichung also mindestens eine Lösung hat, muss die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) ≥ 0 sein.
Also (a/2)² - b ≥ 0 oder umgeformt a²/4 ≥ b.
Jetzt betrachtet man a²/4 mal als Funktion im Intervall [0,1]. Setzt man 0 ein, erhält man 0, setzt man 1 ein, erhält man 1/4, d.h. der Verlauf des Graphen ist ein Teil einer gestauchten Parabel. Und ja, deine Zeichnung ist tatsächlich falsch.
Wir wollten ja wissen, wann der Funktionswert kleiner als das Argument ist und das ist für alle Zahlenpaare, die unterhalb des Graphen liegen, der Fall.
Jetzt kommt das Integral ins Spiel: Eine Fläche unterhalb eines Graphen berechnet man mit dem Integral der Funktion über das betreffende Intervall, also wird INT[0 bis 1](a²/4)da gebildet und das Ergebnis lautet 1/12. Wenn also das ganze Quadrat eine Fläche von 1*1 = 1 FE hat, dann hat die Fläche unterhalb des Graphen eine Fläche von 1/12 FE, d.h. die Wahrscheinlichkeit, ein Paar zu wählen, das die Bedingung erfüllt, liegt gerade bei 1/12.
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