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Aquivalenzrelation
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Demtröder
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Anmeldungsdatum: 29.11.2008
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2009 - 18:07:48    Titel: Aquivalenzrelation

Komme bei der folgenden Aufgabe leider nicht weiter, würde mich über eure Hilfe freuen:

Betrachten sie in den folgenden beispielen die menge X mit einer relation R c X x X. Welche der Eigenschaften einer Aquivalenzrelation erfüllt R:

X=R, (x,y) e R genau dann, wenn x*y > 0
es soll gelten: x~x ( reflexiv)
dies ist gegeben bei: x*x>0 =>x²>0 für x ungleich 0, richtig?

es soll gelten: x~y => y~x ( symmetrie ), also x*y>0 => y*x>0
dies ist gegeben bei: wenn x und y beide positiv oder negativ sind, ansonsten gilt es nach dem kommutativgesetz, richtig?

es soll gelten: x~y und y~z => x~z (transitiv), also x*y>0 und y*z>0 => x*z>0
wir versuchen zu zeigen: x*y+x*z>0 => y*(x+z)>0 und es gilt z=x+z, was aber nur für x=0 gegeben ist, welches aber gegen x*y<0 verstößt, also ist es nicht transitiv, richtig?

War mir einfach nur nicht sicher, ob all, was ich mir da zusammengereit habe, auch stimmt.

Bei der folgenden Aufgabe komme ich dagegen überhaut nicht weiter. Würde mich über Ansätze freuen:

x=F(R,R), (f,g) e R genau dann, wenn f-g differenzierbar

und

x=R, (x,y) e R genau dann, wenn es ein a>=1 gibt mit x²=a*y²


Danke schonmal vorab für eure Mühe
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 16 Apr 2009 - 18:33:55    Titel:

Du sollst für jede der Relationen zeigen, ob sie jeweils reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, ja?

Und über die Menge X im ersten Teil wird keine weitere Angabe gemacht, genau wie über die Beschaffenheit von x und y im dritten Teil?!

Naja, versuchen wirs mal:

Aufg. 1
Reflexivität: x*x > 0 für alle x ≠ 0; da aber keine weiteren Bedingungen an x und y gestellt wurden, kann x also auch 0 sein, damit wäre die Relation nicht reflexiv.

Symmetrie: (x,y) € R --> x*y > 0 --> y*x > 0 --> (y,x) € R. Hier gehe ich einfach mal davon aus, dass wir uns in einem Körper oder zumindest einem kommutativen Ring oder einer abelschen Gruppe bewegen. Dann wäre die Relation symmetrisch, aber ohne weitere Auskünfte... schwierig.

Transitivität: (x,y) € R und (y,z) € R --> x*y > 0 und y*z > 0 --> x und y sind entweder beide positiv oder beide negativ --> sind x und y positiv, muss auch z positiv sein, damit y*z > 0 erfüllt ist; sind x und y negativ, muss aus z aus demselben Grund negativ sein --> y*z > 0, also ist die Relation transitiv.

Aufg. 2
Reflexivität: f-f = 0, also die Nullfunktion und die ist diffbar (f' = 0 für alle x), also reflexiv

Symmetrie: (f,g) € R --> f-g diffbar --> g-f = (f-g)*(-1) ebenfalls diffbar, da nur mit einer Konstante multipliziert wurde --> (g,f) € R, also symmetrisch

Transitivität: (f,g) € R und (g,h) € R --> f-g diffbar und g-h diffbar --> (f-g) + (g-h) = f-h ebenfalls diffbar, denn Summen diffbarer Funktionen sind wieder diffbar --> (f,h) € R, also transitiv

Aufg. 3
Reflexivität: x² = 1*x², also existiert ein a≥1 (und zwar a = 1) --> (x,x) € R, also reflexiv.

Symmetrie: (x,y) € R --> es ex. a mit x² = a*y² --> (1/a)*x² = y², aber für a > 1 ist 1/a < 1, also existiert kein a mit dieser Eigenschaft, also nicht symmetrisch.

Transitivität: (x,y) € R und (y,z) € R --> x² = a*y² und y² = b*z² --> x² = a*b*z² mit a*b ≥ 1, denn a≥1 und b≥1 --> (x,z) € R, also transitiv.
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