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Beliebiges Dreieck - Rechteck Extremal
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BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2009 - 19:48:35    Titel:

Du kannst doch jedes Dreieck so legen, dass eine Seite auf der x-Achse liegt und der linke Eckpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Koordinaten seien dann:

A(0, 0), B(b, 0) und C(c1, c2)

Durch die Parameter b, c1 und c2 ist das Dreieck eindeutig festgelegt. Die Grundseite des Rechtecks legen wir ebenfalls auf die x-Achse. Der linke Eckpunkt des Rechtecks sei

P1(x, 0)

x ist die Variable, die wir für die Maximierung des Flächeninhalts verwenden.

Nach dem Strahlensatz gilt:

h/x = c2/c1

Also ist h = c2 * x / c1

So, ich hoffe, dass wir jetzt endlich auf gleicher Wellenlänge sind! Very Happy
Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2009 - 20:24:13    Titel:

Hab deinen letzten Post erst jetzt grad gelesen und habe 3, 4 Seiten und mehr gerechnet, und hoffe dass es stimmt:
A(maximal)=(cy(cx)²(b-1))/4

(Habe es cy und cx statt c1 und 2 genannt)

Wenns nicht stimmt weine ich! Razz
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 13:17:54    Titel:

Witzig, bei mir hängt die maximale Fläche nur noch von b ab! Ich kann ja mal meine Rechnung posten, vielleicht findet ja jemand einen Fehler...

Also, erstmal die Bezeichnungen: Die Dreieckspunkte A(0/0), B(b/0) und C(c1/c2). Die Rechteckspunkte A'(x1/0), B'(x2/0), C'(x2/h), D'(x1/h), also h = Höhe des Rechtecks.
Die beiden Rechtecksseiten, die wir für die Fläche brauchen, sind also h und (x2-x1)

Strahlensätze anwenden:

x1/c1 = h/c2 --> h = x1*c2/c1

Außerdem:

(c2 - h)/(x2 - x1) = c2/b --> x2 - x1 = b*(c2 - h)/c2

Ersetze h durch den obigen Ausdruck:

x2 - x1 = b*(c2 - x1*c2/c1)/c2

Die Rechtecksfläche ist nun A = h * (x2 - x1) = x1*c2/c1 * b*(c2 - x1*c2/c1)/c2

Zusammenfassen: A(x1) = (-c2²/c1²)*x1² + (b*c2/c1)*x1, also ein Polynom mit x1 als Variable, alles andere sind ja Konstanten.

Dann die 1. Ableitung bilden: A'(x1) = (-2c2²/c1²)*x1 + (b*c2/c1)

Und die Nullstelle herausfinden --> x1 = b*c1/2*c2

Und schließlich die Fläche ausrechnen: A(b*c1/2*c2) = ... = b²/4
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 14:25:12    Titel:

Hi Tiamat,

na, die Aufgabe hat es aber in sich! Shocked

Zitat:
Witzig, bei mir hängt die maximale Fläche nur noch von b ab!


Das ist halt zu schön um wahr zu sein. Denn wenn du die Höhe des Dreiecks veränderst, dann wirst du wohl auch die Fläche des einbeschriebenen Rechtecks verändern. Very Happy

Vielleicht solltest du folgende Zeile deiner Rechnung korrigieren:

A(x1) = (-c2²/c1²)*x1² + (b*c2/c1)*x1

A(x1) = (-c2*b/c1²)*x1² + (b*c2/c1)*x1

Dann sollte die Welt wieder stimmen! Laughing
Tiamat
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Anmeldungsdatum: 25.01.2008
Beiträge: 2092
Wohnort: Aurich

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 14:29:18    Titel:

Achso, schade, hatte mich schon gefreut, dass so ein einfaches Ergebnis herauskommt! Danke Barney! Very Happy

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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 1151
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 14:42:30    Titel:

Ist das denn eigentlich wirklich das Rechteck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt, was man da berechnet?
Es ist doch prinzipiell nur das größtmögliche Rechteck, dessen eine Seite auf der x-Achse liegt.
Man könnte doch auch eine andere Seite des Dreiecks als Grundseite für das Rechteck nehmen. Da sollte doch nicht zwingend der gleiche Flächeninhalt rauskommen oder?
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 15:16:16    Titel:

x² hat folgendes geschrieben:
Man könnte doch auch eine andere Seite des Dreiecks als Grundseite für das Rechteck nehmen.


Da hast du genau aufgepasst und natürlich vollkommen recht!

Die Aufgabe ist in der Tat etwas komplexer als sie hier behandelt wurde.

Einem spitzwinkligen Dreieck kann man drei Rechtecke in der genannten Art einbeschreiben. Da aber die Fläche des optimalen Rechtecks immer die halbe Dreiecksfläche ergibt, ist es vollkommen egal welches Rechteck man wählt.

In einem stumpfwinkligen Dreieck gibt es aber nur eine Möglichkeit ein Dreieck in der genannten Art einzubeschreiben. Trotzdem muss man sich fragen, ob es nicht möglich ist ein größeres Rechteck zu finden, dessen Grundseite nicht mit der Hypothenuse zusammenfällt. Das ist übrigens nicht möglich. Aber der Nachweis ist eben nicht ganz so trivial. Man muss dazu einfach ein Rechteck einbeschreiben, das die Grenzen des Dreiecks sprengt. Dann sind die Verhältnisse sofort überschaubar.


Zuletzt bearbeitet von BarneyG. am 18 Apr 2009 - 15:37:30, insgesamt 2-mal bearbeitet

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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 1151
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2009 - 15:34:37    Titel:

Ah ok. Alles klar.
Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2009 - 00:36:17    Titel:

Wie kommst du auf:(2) d = b - x - h * (b - cx) / cy

Bei mir krieg ich da was andres raus mit Strahlensatz, aber kann sein dass ich einfach blöd geworden bin... Embarassed
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 19 Apr 2009 - 08:10:24    Titel:

Zitat:
Wie kommst du auf:(2) d = b - x - h * (b - cx) / cy


d ist doch ein Abschnitt aus der Grundseite b des Dreiecks. Auf beiden Seiten fehlt also etwas.

Auf der linken Seite muss ich x wegnehmen. Das fehlende Stück auf der rechten Seite nenne ich mal z.

Es ist also

(2a) d = b - x - z

Wir müssen noch z bestimmen. Nach dem Strahlensatz gilt:

cy / (b - cx) = h / z

Nach z aufgelöst

(2b) z = h * (b - cx) / cy

(2a) und (2b) ergeben (2).

Sind wir uns jetzt final einig? Very Happy
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