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Eigenvektoren + Eigenwert
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j-spider
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Anmeldungsdatum: 07.11.2006
Beiträge: 59

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2009 - 10:40:40    Titel: Eigenvektoren + Eigenwert

Hab hier ne Aufgabe bei der ich und ein studienkolege auf dem schlauch stehen:

Es sei n>= 1 und g: R^n --> R^n der Endomorphismus,


x1 xn
. .
g . = .
. .
xn x1

(die sollen einzeln in Vektorklammern stehen)

Welche Eigenwerte hat g? Beantworten Sie diese Frage für alle n >= 1. Welche Eigenvektoren kommen vor?

Also wir wissen das g von x1 = lampta von xn ist und wir müssen das lampta bestimmen. Und wir wissen per definition was ein Eigenvektor und ein Eigenwert ist Wir können den Eigenwert auch bestimmen. Lampta wäre dann x1/xn, doch wie gibt man das dann für den zweiten Wert an?
Vielen dank für jede hilfe
Shubi
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2009 - 10:42:59    Titel:

Ich kann leider deine Darstellung von g nicht entziffern Sad

Ich erkenne da eine Matrixdarstellung (sieht sogar symmetrisch aus) für mehr reichts aber nicht.
j-spider
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Anmeldungsdatum: 07.11.2006
Beiträge: 59

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2009 - 10:55:46    Titel:

oh sorry hab keine ahnung wie ich das richtig darstellen kann also mal verbaler:

g ist der Faktor der vor dem ersten vektor steht der Vektor geht von x1 bis runter nach xn und das ist = Vektor von xn bis x1
Shubi
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2009 - 11:22:41    Titel:

Wenn ich das richtig verstehe, vertauscht dein Endomorphismus g also jeweils die x_1 und x_n, die x_2 und x_{n-1} Komponenten etc.?

g(x_1,...,x_n)^T=(x_n,...,x_1)^T?

Nun, dann mache folgendes:

Du betrachtest die Matrixdarstellung von g, hierfür nimmst du am besten die Standardbasis von K^n. Dann sortierst du die Basis entsprechend (machts evtl. übersichtlicher;)).

Dann berechnest du Chi_A, wenn A die Matrixdarstellung von g bzgl. der Standartbasen ist. Die Nullstellen von Chi_A sind die Eigenwerte.
j-spider
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Anmeldungsdatum: 07.11.2006
Beiträge: 59

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2009 - 11:41:48    Titel:

danke das war schon mal hilfreich, könntest du mir noch verraten was du mit chi_a meinst?
Shubi
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Anmeldungsdatum: 21.07.2008
Beiträge: 1193

BeitragVerfasst am: 20 Apr 2009 - 20:33:09    Titel:

Chi_A ist das charakteristische Polynom von g Wink

Allgemein gilt:

Chi_A=det(T*I_n-A)

Viele benutzen hier auch X oder sonst was... du weißt schon was ich meine Razz
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