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kugel und tangenten
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mp1990
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 15:27:50    Titel: kugel und tangenten

hallo, habe folgenden aufgabe:
gegeben sei ein punkt P(p1|p2|p3) der außerhalb der kugel liegt und eine bekannte kugel mit K(OX-OM)^2=r^2

nun sollte ich die kugel zeichnen und vom punkt tangenten dazu ziehen... logischerweise gibt es unendlich viele und es entsteht eine art trichter....
jetzt soll ich für diese tangenten eine gleichung finden... also sprich eine art tangentenschar oder sowas in der art, das weiß ich aber nicht genau.

habe bis jetzt festgestellt das es ja nur einen berührungspunkt geben kann, also ist der minimale abstand der tangente zum mittelpunkt gleich dem radius... jedoch weiß ich nicht wie ich den punkt auf der kugeloberfläche genauer bestimmen kann, sodass ich auf meine gleichung komme, bzw. wie ich überhaupt eine gleichung für das problem aufstelle...

wäre nett wenn ich mir einen tipp oder vielleicht sogar die lösung gebt=)
danke schon mal im vorraus!!
clzstudi
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Anmeldungsdatum: 26.07.2008
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 15:38:30    Titel:

Hi,
schau mal hier nach:
http://www.mathematik-forum.de/forum/showthread.php?t=33619

da haben die dieses problem diskutiert.

evtl.kannst u damit was anfangen Wink

edit:

evtl. hilft dir auch das:
http://www.matheboard.de/archive/191428/thread.html
mp1990
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 15:45:04    Titel:

ja die kenn ich schon die seiten... aber hilft mir auch nicht wirklich da dort ja eine geradenschar gegeben ist... ich hab aber nur einen punkt gegeben und weiß ja eigentlich den richtungsvektor gar nicht...
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 16:16:43    Titel:

.
Zitat:
gegeben sei ein punkt P(p1|p2|p3) der außerhalb der kugel liegt
und eine bekannte kugel mit K(OX-OM)^2=r^2

nun sollte ich die kugel zeichnen und vom punkt tangenten dazu ziehen... logischerweise gibt es unendlich viele und es entsteht eine art trichter....

jetzt soll ich für diese tangenten eine gleichung finden..

wenn ich es richtig sehe, sind deine Tangenten die Mantellinien eines Kegels,
dessen Spitze in P ist (Ortsvektor sei p)
und dessen Öffnungswinkel 2*γ du aus sin(γ) = r/|PM| bekommst
und dessen Achse ( Vektor a =PM ) ist ...

Die Gleichung dieses Kegels (dh alle deine Tangenten an K) sieht dann so aus:

{(X-p)⋅a} / [ |x-p|*|a| ] = cos(γ)

ok?


Zuletzt bearbeitet von mathefan am 21 Apr 2009 - 16:29:13, insgesamt einmal bearbeitet
mp1990
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 16:24:39    Titel:

ähm nicht so ganz... das mit der achse hab ich verstanden... weil ja pm dann sozusagen die mitte des kegels bildet...und das mit dem mantel versteh ich auch, nur das mit dem sinus was du gerechnet hast nicht ganz.. und wie du dann auf die formel kommst..
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 16:40:13    Titel:

.
Zitat:
nur das mit dem sinus was du gerechnet hast..
Smile

sin(γ) = r/|PM|

denk dir von P aus irgend eine Beispiel-Tangente an die Kugel
und beschrifte den Tangenten-Berührpunkt mit T

dann hast du ein bei T Rechtwinkliges Dreieck PMT mit dem halben
Kegel-Öffnungswinkel γ beim Punkt P

und jetzt hast du sicher schon mal davon gehört, wie der sin.. definiert ist ?
hier also gilt im Dreieck PMT: sin(γ) = |MT|/|PM| = r/|PM|

ok?
mp1990
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 17:18:55    Titel:

ja oke logisch^^ das hab ich verstanden:P und wie kommstu nun auf die formel bzw die gleichung für die tangente?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 18:03:21    Titel:

.
Zitat:
kommstu nun auf ..

(X-p)⋅a = |x-p|*|a| * cos(γ)

bistu schon irgendwann dem "Skalarprodukt" begegnet?

ja? dann schau mal genau hin .. und mach dir klar, welche Vektoren
da eine Rolle spielen - und warum Punkte X auf dem Kegelmantel diese
Gleichung wohl erfüllen .. Wink
.
mp1990
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Anmeldungsdatum: 07.02.2008
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 18:29:16    Titel:

ja kla kenn ich das skalarprodukt aber halt nur als kreterium für orthogonalität... aber mir ist gerade die gleichung trotzdem nicht so klar, vielleicht stell ich mich auch ein wenig dämlich an
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2009 - 19:01:06    Titel:

.
Zitat:
trotzdem nicht so klar..

vielleicht liegt das daran, dass du eine bestimmte Geradengleichung erwartest?

das geht ja nur, wenn du konkret einen bestimmten Berührpunkt T herausfindest
und dann die Gerade wie gewohnt aufschreibst ( OX=OP +t*PT)

die Menge aller möglichen T könntest du bekommen als Schnittmenge deiner Kugel(oberfläche)
mit der Kugel um P mit Radius |PT|= |PM|*cos(γ)

aber zurück zu
(X-p)⋅a = |x-p|*|a| * cos(γ)
nochmal:diese Gleichung
das ist keine Geradengleichung, sondern sowas wie die Kegelmantelgleichung
also, alle Punkte X auf dem Kegel erfüllen diese Gleichung ..
.

und nochwas:
Zitat:
das skalarprodukt aber halt nur als kreterium für orthogonalität.
.. das ist ja echt nur ein kleiner aber schöner (Neben-)Aspekt
informiere dich doch mal etwas mehr zum Thema Skalarprodukt Wink
.
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