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Beweise der Rechenregeln (Assoziativgesetz und Kürzungsregel
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beweise der Rechenregeln (Assoziativgesetz und Kürzungsregel
 
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Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 21:25:24    Titel: Beweise der Rechenregeln (Assoziativgesetz und Kürzungsregel

Hallo ich soll folgende Rechenregel in N mit der vollständigen Induktion beweisen:
a) a+(b+c) = (a+b)+c
Zwar habe ich mich mit der vollständigen Induktion zwar nicht gerade leicht getan, wobei ich bis jetzt nur Summen oder die Teilbarkeit per Induktion bewiesen habe. Wie gehe ich denn jetzt an das AG ran?

b) a+c<b+c --> a<b soll anhand des indirekten Beweises gezeigt werden. Dabei dürfen auch die anderen Rechenregeln in N angewandt werden.

Gruß


Zuletzt bearbeitet von Lockenheld am 06 Mai 2009 - 10:13:01, insgesamt einmal bearbeitet
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 22:19:27    Titel:

Induktion uber C
IA: c = 0
=> a+(b+0)=a+b=(a+b)+0

IS: a+(b+N(c)) = a + N(b+c) = N(a+(b+c)) = N((a+b)+c) = (a+b)+N(c)

wobei N die Nachfolgefunktion ist.

Jonsy


Zuletzt bearbeitet von Jonsy am 05 Mai 2009 - 22:29:10, insgesamt einmal bearbeitet
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 22:26:48    Titel:

Der IA ist klar, nur verstehe ich nicht ganz, warum die Nachfolgefunktion an den Stellen steht, an denen sie steht Embarassed
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 22:32:04    Titel:

Hmm, verstehe nicht so recht, was du nicht verstehst ^^ Du kennst die Definition der Nachfolgefunktion? Schau dir das einfach noch mal in Ruhe an, muesste klar werden.

Jonsy
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 22:49:43    Titel:

Wir haben noch weiter auf dem Aufgabenblatt folgende Definition stehen: Die Summe zweier natürlichen Zahlen wird definiert durch die Rekursion
a+1 = a' und
(a+b) = (a+b)'
n' bedeutet dabei jeweils den Nachfolger von n.

So nach der Definition müsste dein letzter Beitrag ja dann so aussehen:
a+(b+c') = a+(b+c)' = (a+(b+c))' = (a+b) + c'
Richtig?
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 23:07:17    Titel:

Zitat:
(a+b) = (a+b)'

Nun, das wuerde an der Injektivitaet der Nachfolgefunktion kratzen Wink

Zitat:
So nach der Definition müsste dein letzter Beitrag ja dann so aussehen:
a+(b+c') = a+(b+c)' = (a+(b+c))' = (a+b) + c'
Richtig?

Ja.

Jonsy
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 23:15:50    Titel:

Eigentlich verstehe ich schon den ersten Schritt nicht... warum gilt a+(b+c') = a+(b+c)'? Wieso kann gelten "b + der Nachfolger von c" = Nachfolger von Summe von b+c?
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 23:20:41    Titel:

Das ist die Definition der Addition! Wink
Definition der Addition: Fuer m,n aus IN mit der Verknuepfung "+" gelte:
a)n+1 = N(n)
b)m+N(n) = N(m+n).

Jonsy
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2009 - 23:26:53    Titel:

Okay, ich meine jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für die Antworten!
Lockenheld
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Anmeldungsdatum: 14.06.2008
Beiträge: 223

BeitragVerfasst am: 06 Mai 2009 - 10:14:33    Titel:

Was ist denn im allgemeinen mit "indirekter" Beweis gemeint? Der Beweis durch Kontraposition oder der Beweis durch Widerspruch?
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