Beweiß das durch eine Bilinearform ein Skalarproduk def. ist

Zephania · Full Member Anmeldungsdatum: 03.11.2008 Beiträge: 100 Wohnort: Hamburg

Ich habe folgende Aufgabe: Betrachten sie den komplexen Vektorraum der quadratsummierbaren Folgen l2(C)={(an)n Element N, Summe |an|²< unendlich}.

Beweisen Sie, dass durch ß : l2(C) X l2(C) abgebildet auf C, ß((an)n Element N, (bn) n Element N) = Summe an bn komplex konjugiert ein Skalarprodukt definiert ist.

Wie kann man dies Zeigen welches Verfahren wendet man hier an?

C = Komplexe Zahlen
komplex Konjugirt ist nur das bn
ß = Beta
X = Kreuzprodukt

Tiamat · Senior Member Anmeldungsdatum: 25.01.2008 Beiträge: 2092 Wohnort: Aurich

Naja, du musst eben die Eigenschaften eines Skalarprodukts nachrechnen:
i) bilinear
ii) symmetrisch
iii) positiv definit

Allerdings ist in diesem Fall der Grundkörper ja wohl eher C, also müsstest du zeigen:
i) sesquilinear
ii) hermitesch
iii) positiv definit

Zephania · Full Member Anmeldungsdatum: 03.11.2008 Beiträge: 100 Wohnort: Hamburg

Was ist sesquilinear? Und wie lautet die Definition dafür. Und wie verwendet man diese Definition zum nachrechen für diese Gleichung?

Tiamat · Senior Member Anmeldungsdatum: 25.01.2008 Beiträge: 2092 Wohnort: Aurich

Sesquilinear heißt soviel wie "anderthalblinear", d.h. linear im ersten, semilinear im zweiten Argument:

(x+y,z) = (x,z) + (y,z)
(x,y+z) = (x,y) + (x,z)
(ax,y) = a(x,y)
(x,ay) = a*(x,y), wobei a* das konjugiert Komplexe von a bedeutet.

Zum Nachrechnen setz einfach mal die Definition deiner Bilinear- bzw. Sesquilinearform ein und überleg, ob die oben genannten Rechenregeln so gültig sind (und vor allem, warum!).

Zephania · Full Member Anmeldungsdatum: 03.11.2008 Beiträge: 100 Wohnort: Hamburg

Soll ich also die Definition der Folge an einsetzen, sprich Summe |an|²<unendlich. Oder das was in der Gleichung später steht?

Tiamat · Senior Member Anmeldungsdatum: 25.01.2008 Beiträge: 2092 Wohnort: Aurich