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Grenzwert und monotonie von Folgen
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marydesign
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Anmeldungsdatum: 04.05.2005
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 04 Mai 2005 - 22:46:06    Titel: Grenzwert und monotonie von Folgen

Hallo
Habe folgende Aufgabe und kann sie nicht lösen:

Sei a_n eine monoton wachsende Folge mit
lim(n gegen unendlich) = a.

Zeige, dass a_n <= a ist für alle n Element von N.

Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll.
Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen.

Danke
Gast







BeitragVerfasst am: 05 Mai 2005 - 00:09:23    Titel:

Hi,
eigentlich ist alles offensichtlich. Die Folge ist monoton wachsend mit dem Grenzwert a.
Dann müssen alle Glieder kleiner als a sein.

Kann man das irgendwie streng mathematisch beweisen? Rolling Eyes
Hiob
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Anmeldungsdatum: 05.05.2005
Beiträge: 1379

BeitragVerfasst am: 05 Mai 2005 - 00:31:46    Titel: Re: Grenzwert und monotonie von Folgen

marydesign hat folgendes geschrieben:
Hallo
Habe folgende Aufgabe und kann sie nicht lösen:

Sei a_n eine monoton wachsende Folge mit
lim(n gegen unendlich) = a.

Zeige, dass a_n <= a ist für alle n Element von N.

Ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll.
Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen.

Danke


Angenommen es gibt ein a_n, das größer ist als a, also a_n > a.
Dann gilt für alle m>=n: a_m > a
Besonders gilt, daß a_m immer mindestens soweit von a entfernt ist wie a_n. Also kann man nicht mehr unbegrenzt nah an a herankommen und a kann kein Grenzwert sein. Das steht im Widerspruch zu den Voraussetzungen, also ist die Annahme (a_n > a) falsch.

mathematisch eher so:
I: Für alle m, n Element von N mit m>n gilt: a_m>=a_n
(monoton wachsend)
II: Für alle e>0 gibt es ein k Element von N, so daß für alle h Element von N mit h>=k gilt: |a_h - a| < e
(a ist Grenzwert der Folge)

Annahme: a_n > a
Nach I gilt: Für alle m Element von N mit m>n gilt: a_m>=a_n.
Setze e=(|a_n - a|)/2. Dann gilt |a_n - a| = (a_n - a) > e.
Dann gilt: Für alle m Element von N mit m>n gilt: |a_m - a|>=|a_n - a|>e.
Das steht im Widerspruch zur Voraussetzung II. Demnach ist die Annahme falsch. Also gibt es kein a_n>a.
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