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DGL 2. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> DGL 2. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten
 
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Guide
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Anmeldungsdatum: 02.06.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2009 - 19:59:51    Titel: DGL 2. Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten

Hallo ich hoffe mir kann jemand zumindestens den oder einen Lösungsansatz zu folgender DGL liefern, ist eine unserer Aufgaben zur Klausurvorbereitung. Komme eigentlich soweit ganz gut klar mit DGL's aber an der beiße ich mir jetzt zwei Tagen die Zähen aus.
Vielleicht bin ich einfach nur "blind"
Hab schon alles probiert, ich soll diese DGL einmal mit laplace Transformation lösen und einmal mit einen frei gewählten Ansatz.

Also die DGL lautet

x²y''-xy'-2y=0

Das es eine DGL 2. Ordnung ist ist klar mit den Koeffizienten (nichtkonstant) bin ich mir auch recht sicher.
Habe bereits versucht durch x² zu teilen vereinfacht den Term aber nicht wirklich, weiterhin hatte ich die Idee zu subtituieren, hat mich auch nicht wirklich zum Ergebnis gebracht.

Danke für Eure Hilfe.
Guide
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Anmeldungsdatum: 02.06.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 20:06:40    Titel:

So hab mal folgenden Ansatz genommen.

y=Summe an*x^n

mit den beiden Ableitungen y' und y''
eingesetzt und ausgerechnet komm ich dann auf

0=Summe an*(n^2-2n+2)*x^n


ist das jetzt richtig soweit, und nun??
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 21:06:31    Titel:

Ist mein Beitrag unsichtbar?

Substituier y(x)=z(ln(x))

xy'=z'(ln(x))
y''=-z'(ln(x))/x²+z''(ln(x))/x² => y''x²=z''(ln(x))-z'(ln(x))

Deine DGL geht also über in:
x²y''-xy'-2y=0

z''-2z'-2z=0
Lösungen:
e^([1+-sqrt(3)]x)=z_1,2

y(x)=z(ln(x))

Lösungen der ursprünglichen Gleichung:
x^(1+-sqrt(3))=y_1,2


Zuletzt bearbeitet von One for one am 03 Jun 2009 - 21:42:05, insgesamt einmal bearbeitet
Guide
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Anmeldungsdatum: 02.06.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 21:32:59    Titel:

Hallo danke habs mal so durchgerechnet und komme auf

u''-2u'+2u=0

Damit wären mit u=e^tx und deren ableitungen.

ergibt t_1,2=1+-j
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 21:37:20    Titel:

Guide hat folgendes geschrieben:

u''-2u'+2u=0


Wie kommst du darauf? Da fehlt nämlich ein Minuszeichen.
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Anmeldungsdatum: 02.06.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 21:48:58    Titel:

Oh sch.....

Hab ganz oben schon einen Fehler die ausgangs DGL lautet nicht -2y sondern +2y

als x^2y'' -xy' + 2y =0

Tut mir leid bins nicht gewohnt Mathematikformeln in einen Texteditor zu basteln, muss ich erstmal dran gewöhnen.

Somit hätte ich dann wohl recht mit +2u, auch wenn mein Fehler dich geleitet hat.

zum Schluß bin ich jetzt bei

u_0=e^x(c1+sin(x)+c2*cos(x)) angelangt
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Beiträge: 1034
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 21:53:25    Titel:

Habe das jetzt nicht durchgerechnet, aber hast du dir auf der Seite mal ganz unten angeschaut was im Falle 3 zu machen ist?

http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 02.06.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 22:02:20    Titel:

Danke du hast mir sehr geholfen!

Demnach hätte ich zum Schluß

y_1 = x*sin (ln x) und y_2 = x*cos (ln x)

Du lässt hoffen.

Komisch nur das ich in jedem Ansatz diese Form z"-2z'+2z= 0 enthalten hatte.
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
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BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 22:05:01    Titel:

Joar, müsste hinhauen.

Dann mal viel Glück für deine Klausur.
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Anmeldungsdatum: 02.06.2009
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2009 - 22:06:49    Titel:

Ja danke bei meinem Brett vorm Kopf brauch ich das auf jeden Fall.

Nur ärgerlich das in unseren teuren Mathebüchern sowas net drinnesteht.

(Papula)
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