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kritischer wert mehrerer veränderlicher
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physikus2
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Anmeldungsdatum: 29.11.2008
Beiträge: 55

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2009 - 11:45:16    Titel: kritischer wert mehrerer veränderlicher

hi, ich bereite mich grad auf eine prüfung vor und bin auf folgenmde aufgabe gestoßen:

bestimmen sie alle kritischen punkte der funktion f (in R).

f: 1/4 * x^4 - 9*x^2 -y^2 + 2xy - 2x + 2y +5

die werte kenn ich. sie lauten:
(x,y):
(0,1) (4,5) (-4,-3)

Wie kommt man da drauf? bei normalen brüchen ist klar, dass ich z.b. nich durch null teilen darf etc. aber wenn ich die werte hier für x und y einsetz, kommen völliog normale zahlen raus. wei komm ich da drauf?

danke im voraus
lisa.mainhard
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Anmeldungsdatum: 17.11.2008
Beiträge: 216

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2009 - 12:24:11    Titel:

Hallo,

um die kritischen Werte der Funktion f :IR^2 --> IR zu bestimmen, berechne zuerst den Gradienten von f und setze dann: grad(f) = 0.

Es ist letztendlich das selbe wie im eindimensionalen, nur, dass im mehrdimensionalen die Ableitung einer Funktion keine Zahl, sondern eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen ist, die sich durch eine Matrix beschreiben lässt.

Tschüss,
Lisa
PS: Die von dir angegebenen kritischen Werte sind korrekt.
physikus2
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Anmeldungsdatum: 29.11.2008
Beiträge: 55

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2009 - 12:33:47    Titel:

hm.
okay, dann hab ich bei einem gradienten zwei unterschiedliche fälle. wie kombinier ich die denn dann miteinander?
bzw wie setz ich den gradienten = 0? der gilt ja quasi einmal für x und einmal für y?!

Sorry, bin da noch nich so ganz im thema drin.
lisa.mainhard
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Anmeldungsdatum: 17.11.2008
Beiträge: 216

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2009 - 13:33:09    Titel:

Der Gradient von f ist in deinem Fall ein Vektor mit zwei Komponenten, der die partiellen Ableitungen von f enthält (in der 1. Zeile steht die partielle Ableitung von f nach x und in der 2. Zeile steht die partielle Ableitung von f nach y). Er kann auch als Zeilenvektor geschrieben werden, doch das ist letztendlich egal.

Im Allgemeinen Fall, d.h. wenn du eine Abbildung untersuchen musst, die von IR^n in den IR^m geht (wobei n und m natürliche Zahlen seien), ist die Ableitung von f, geschrieben Df(x,y), die sogenannte Jacobi-Matrix. Der Gradient ist nur ein Spezialfall der Jacobi-Matrix für den Fall, dass der Bildraum der Abbildung eindimensional ist (d.h. = IR).

Ich habe den Gradienten grad(f(x,y)) für deine Funktion ausgerechnet.
Es ergibt sich:
grad(f(x,y))= ( (x^3-18x+2y-2), (-2y+2x+2) )^t

Um die kritischen Werte zu erfahren, musst du grad(f(x,y)) = 0 setzen, wobei 0 hier der Nullvektor ist. [Aufgrund der Eindeutigkeit des Nullvektors schreibt man auch einfach nur 0 statt (0,0)].
Da also die Komponenten des Nullvektors alle 0 sind, erhälst du folgendes Gleichungssystem:

(1): x^3 -18x + 2y-2 = 0
(2): -2y + 2x + 2 = 0

Mann kann nun geschickt umformen:
Aus (1) ergibt sich: x^3 - 18x = -2y + 2
Eingesetzt in die 2. Komponente von grad(f(x,y)), also in (2):
--> -2y+2x+2 = x^3-18x+2x = x^3 -16x = 0

Für die Gleichung x^3-16x=0 existieren drei Lösungen, die da wären:
x_1 = -4
x_2 = 0
x_3 = +4

Du kannst nun mithilfe der Komponenten des Gradienten (s.o) die zu den x-Werten gehörigen y-Werte bestimmen und erhält somit die kritischen Punkte deiner Funktion:

(-4, -3); (0,1); (4,5)

Ob es sich um Extrema (Minimum, Maximum) handelt, lässt sich noch nicht abschließend klären. Dazu muss man die Hesse-Matrix der Abbildung f untersuchen.

Viele Grüße
Lisa
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