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Integration
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physikus2
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Anmeldungsdatum: 29.11.2008
Beiträge: 55

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2009 - 12:00:18    Titel: Integration

und gleich ne frage hinterher Wink

Es geht ums integrieren.

welche regeln gibt es denn?
also was ich kenne, ist die partielle integration und die regel, wenn im zähler die ableitung des nenners steht, dass ln(f(x)) raus kommt.
aber jetzt hab ich diesen Hammer:

(-(Wurzel(5)) * sin(x)) / (5 + (cos(x)^2))
lösung mal wieder:
arctan( (cos(x)) / (wurzel(5) )

Wie formt man das denn um?
ich habe schon nach der definition von arctan gesucht. vermutlich arcsin/arccos, aber war mir nicht ganz sicher. außerdem hats mir nicht wirklich was geholfen. ich denke mal, man muss auf irgendwas bekanntes substituieren, oder? häng da voll, sorry
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2009 - 12:44:37    Titel: Substitution

u := cos(x)÷√5
----
Verallgemerinerungen:
-√5 → α , 5 → β, x → φ (letzteres ist für mich)
Substitution:
u := cos(φ)÷√β → cos(φ) = √β·u → φ = acos(√β·u) → dφ = -√β ÷ √(1-β·u²) ·du = -√β ÷ sin(φ) ·du
→ sin(φ) = √(1-β·u²)
Integration:
∫ α·sin(φ) ÷[β+cos²(φ)] ·dφ = -α·√β· ∫ 1 ÷(β+β·u²) ·du = -α÷√β· ∫ 1 ÷(1+u²) ·du = -α÷√β· atan(u) +const.
Rücksubstitution:
∫ α·sin(φ) ÷[β+cos²(φ)] ·dφ = -α÷√β· atan[cos(φ)÷√β] +const.

Verifikation mittels Differentiation (Kettenregel):
d÷dφ {-α÷√β· atan[cos(φ)÷√β]} = -α÷√β· 1÷[1+cos²(φ)÷β] ·(-1÷√β)·sin(φ) = α ·sin(φ)÷[β+cos²(φ)]
--
Wie soll dies zu erraten sein? Erkennen der rückwärts angewendeten Kettenregel.
Der (leicht umgeformte) Integrand -α÷√β ·[(-1)·sin(φ)÷√β]÷[1+{cos(φ)÷√β}]" hat im Zähler die "innere" Ableitung und im Nenner die "äussere" Ableitung von atan[cos(φ)÷√β].


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 05 Jun 2009 - 23:05:13, insgesamt 2-mal bearbeitet
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2009 - 12:50:35    Titel:

Substituier z=cos(x)/sqrt(5)

Du musst nur wissen, dass arctan(x) eine Stammfunktion von 1/(1+x²) ist.
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