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funktion dritten grades
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scarcity
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Anmeldungsdatum: 28.10.2008
Beiträge: 438

BeitragVerfasst am: 05 Jun 2009 - 23:21:42    Titel: funktion dritten grades

hi.

ich habe eine funktion dritten grades, also praktisch

f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

und von dieser funktion will ich nun die nullstellen bestimmen.

normalerweise würde ich jetzt eine nullstelle erraten und dann (heißt glaub ich) polynomdivision durchführen.
oder ich würde irgendwas ausklammern umstellen und die nullstellen dann sofort sehen.

aber in diesem fall geht das echt nicht.

wie bestimme ich denn dann die nullstellen? habe von der cardanischen formel gehört. hilft die mir da oder nicht? und sollte man das probieren oder endet das im desaster? danke.
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 03:41:20    Titel:

Hi,

also es kommt natürlich stark auf die Gleichung selbst an. I.d.R. hilft geschicktes Raten und dann Polynomdivision.
Wie heißt denn deine Aufgabe konkret? Oder willst du von der allgemeinen Form die Nullstellen bestimmen, so wie du sie hier hingeschrieben hast?
Die Cardano-Formeln liefern dir stets alle komplexen Nullstellen, sind aber recht langwierig anzuwenden und daher nicht empfehlenswert. Aber funktionieren tuts immer =)

Gruß, sr.
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 11:15:31    Titel:

Sooo langwierig ist die cardanische Formel nun auch wieder nicht. Man kann sie nur schlecht in einem Stück aufschreiben, wie bei der Lösungsformel für quadratische Gleichungen.

[; 0 = ax^3 + bx^2 + cx + d ;]
[; p := \frac{3ac-b^2}{3a^2}, \quad q := \frac{27a^2d+2b^3-9abc}{27a^3}, \quad D := \left( \frac{p}{3} \right) ^3 + \left( \frac{q}{2} \right) ^2 ;]
[; u^3 := -\frac{q}{2} + \sqrt{D}, \quad u_k = \sqrt[3]{\operatorname{abs}(u^3)} \cdot \exp \left( \frac{\operatorname{arg}(u^3) + k \cdot 2 \pi}{3} i \right) ;]
[; v^3 := -\frac{q}{2} - \sqrt{D}, \quad v_k = \sqrt[3]{\operatorname{abs}(v^3)} \cdot \exp \left( \frac{\operatorname{arg}(v^3) + k \cdot 2 \pi}{3} i \right) ;]
[; x_1 = u_1 + v_2 - \frac{b}{3a}, \quad x_2 = u_2 + v_1 - \frac{b}{3a}, \quad x_3 = u_3 + v_3 - \frac{b}{3a} ;]
scarcity
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Anmeldungsdatum: 28.10.2008
Beiträge: 438

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 12:54:02    Titel:

danke für die antworten!

also raten hilft hier echt nicht. die 4 koeffizienten, die ich in meinem eingangspost genannt habe, hängen nämlich ihrerseits von 4 verschiedenen konstanten ab. also eine "zahl" würde man sowieso nicht erraten müssen, sondern eher einen "term" mit diesen 4 konstanten und dafür bin ich zu wenig hochbegabt Wink

die aufgabe posten bringt auch nichts, weil es keine "aufgabe" ist und ich damit nur alle potentiellen antworter verschrecken würde Wink

ich habe gestern nacht noch mit der cardanischen formel angefangen. habe mir die "vorgehensweise" aus wiki abgeguckt. blöderweise habe ich das p und das q aus dieser formel selbst berechnet (durch substitution und umstellen), anstatt gleich die lösungsformeln zu benutzen. das hat 2 stunden gedauert und 5 dinA4-Seiten gedauert. dann habe ich die lösungsformeln gesehen und damit mein ergebnis (also das zwischenergebnis) überprüft. das hat dann nochmal fast 2 stunden gedauert.

jetzt bin ich an der stelle, wo p und q bestimmt sind. muss jetzt die eigentliche lösungsformel anwenden und hoffe es klappt. wenn irgendwas schiefgeht, melde ich mich nochmal.

fazit: diese cardanischen formeln sind eine elende rechnerei! aber wenns klappt, dann freuts mich Wink
scarcity
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Anmeldungsdatum: 28.10.2008
Beiträge: 438

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 16:17:59    Titel:

ne leider nicht. dann mach ichs mit cardanischn formel. ist doch jetzt wesentlich einfacher oder? also nochmal neu oder?
scarcity
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Anmeldungsdatum: 28.10.2008
Beiträge: 438

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 17:59:07    Titel:

so. ich habe es jetzt alles nochmal neu gemacht mit deiner verkürzten version. das ging viel einfacher. p und q sind bereits berechnet (q ist erwartungsgemäß wieder =0). jetzt habe ich D berechnet. das ging auch gut.

aber wie mache ich jetzt weiter?

jetzt müsste ich ja u und v berechnen. aber da hab ich die soundsovielte wurzel von D.

und D ist bei mir

D= 1/(216k^3) - (3/432k^2)*c^2 + (3/432k)*c^4 - (1/1728)*c^6

und das c so wie du gesagt hast.

jetzt brauche ich doch erstmal die wurzel von D oder? aber wie mach ich das denn?

wäre für weitere hilfe sehr dankbar!

edit: also letztendlich ist ja die 3. wurzel aus wurzel D, also die 6. Wurzel aus D.

6.Wurzel aus D=

( 1/(216k^3) - (3/432k^2)*c^2 + (3/432k)*c^4 - (1/1728)*c^6 )^(1/6)

aber damit komm ich doch auf keinen grünen zweig mehr oder doch?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 19:02:51    Titel:

Nicht ohne dich mit den komplexen Zahlen auseinander zu setzen.
scarcity
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Anmeldungsdatum: 28.10.2008
Beiträge: 438

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 19:24:31    Titel:

wielange brauch ich um das drauf zu haben?

edit: weil meine lösung (die ich suche) eine ökonomische interpretation hat, kann ich sowieso nur positive lösungen für x gebrauchen! negative lösungen wären für die tonne!
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