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Basis und Dimension eines Unterraumes
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Anmeldungsdatum: 21.03.2009
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 16:55:57    Titel: Basis und Dimension eines Unterraumes

Hi,

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen, komme aber trotz Hinweis nicht drauf, wie ich ansetzen soll:

U,W seien Unterräume des [;\mathbb{R}^4;]:

U:={(a,b,c,d)|b+c+d=0}
W:={(a,b,c,d)|a+b=0; c=2d}

Bestimme Basis und Dimension von U und V (Anl.: Bestimme die Lösungsmenge der jeweiligen LGS).

Welche LGS sind denn hier gemeint? Stehe total auf der Leitung und bin deshalb für jeden Tip dankbar! Very Happy

lg
lisa.mainhard
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Anmeldungsdatum: 17.11.2008
Beiträge: 216

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 17:40:30    Titel:

Hallo,

zuerst solltest du dir mal überlegen, wie die Vektoren in U und V aussehen. Ich hab mal als Beispiel jeweils einen Vektor aus U und V genommen:

[;\left( {\begin{array}{_}
1 \\
1 \\
1 \\
{ - 2} \\
\end{array} } \right) \in U{\text{ und }}\left( {\begin{array}{_}
1 \\
{ - 1} \\
2 \\
1 \\
\end{array} } \right) \in V\;]

Nun musst du dir überlegen, wie die Basen von U und V aussehen. Die Anzahl der Basisvektoren gibt dir die Dimension. Die Basisvektoren sind linear unabhängig und zwar maximal linear unabhängig, das heißt, wenn du zu einer Basis einen Vektor dazunimmst (der im gleichen Raum ist), dann wird dieses System von Vektoren zwangsläufig linear abhängig.

Also: Wie viele Basisvektoren gibt es jeweils und wie sehen sie aus? Zwei hab ich dir ja schon genannt.

Viele Grüße,
Lisa
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Anmeldungsdatum: 21.03.2009
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 19:02:04    Titel:

Danke erstmal für die rasche Antwort.

Hab mir mittlwerweile folgendes überlegt:
U und W sind echte Teilräume von R4, d.h. die Dimension der beiden ist auf jedenfall kleiner als dim(R4). In anderen Worten: es gibt höchstens drei l.u. Vektoren.

Nun hab ich mir ausgehend von der Standardbasis im R4 folgende Basisvektoren zusammengebastelt:

Für U:
e1=(1,0,0,0)
e2=(0,1,-1,0)
e3=(0,0,1,-1)

Hab dabei den Staffelformtest für lineare Unabhängigkeit berücksichtigt. Der sagt mir, dass ich keinen e4 definieren kann, bei dem c 0 ist, außer dem 0-Vektor. Und der ist ja für eine Basis nicht so brauchbar.

Analog dazu habe ich für W zwei Basisvektoren gefunden.


Die Frage ist aber trotzdem, welche Lösungsmengen welcher Gleichunssysteme ich lt. meiner Angabe bestimmen soll?!
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