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e^it=cos(t)+i*sin(t) <-- Wo ist der Denkfehler?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> e^it=cos(t)+i*sin(t) <-- Wo ist der Denkfehler?
 
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LordCobra
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 20:56:36    Titel: e^it=cos(t)+i*sin(t) <-- Wo ist der Denkfehler?

Ich möchte die Nullstellen finden von einer Funktion
f(t) = sin(a1*t) * sin(a2*t) * ... * sin(an*t)

In meiner Vorgehensweise habe ich aber einen Denkfehler,
weil das Ergebnis ganz offensichtlich falsch ist,
aber ich finde den nicht.

Zuerst möchte ich auf die komplexe Ebene umsteigen,
da man dort die Multiplikation als Addition darstellen kann.
Die Darstellungsform sollte keine Auswirkung auf
die Schnittstellen mit der X-Achse haben.
sin(t) --> i*sin(t)

Da ich mich nur für die Nullstellen interessiere,
also für die Schnittstellen mit der reellen Achse,
kann man für jede einzelne Schwingung
wohl auch cos(t) + i*sin(t) schreiben.
Das verschiebt nur die Position, wo die Nullstelle physikalisch liegt,
aber in Bezug auf t sollte das keine Auswirkung haben.

Jeden Term kann man nun als e^it schreiben, das ergibt
f(t) = e^(a1*t) * e^(a2*t) * ... * e^(an*t)
f(t) = e^(it*(a1+a2+...an))

Und wenn ich das wieder zurück wandle, hätte man doch
f(t) = cos(t*(a1+a2+...an))+i*sin(t*(a1+a2+...an))
bzw. f(t) = sin(t*(a1+a2+...an))
um das wieder als normale Funktion im Reelen darzustellen
da ich mich eh nur für die Nulldurchgänge interessiere...

Danach müssten aber die beiden Funktionen die selben
Nullstellen haben, und das ist ja offensichtlich nicht der Fall.
f(t) = sin(a1*t) * sin(a2*t) * ... * sin(an*t)
f(t) = sin(t*(a1+a2+...an))

Aber wo ist der logische Fehler?
Bzw. wie kann man ihn korrigieren, falls möglich?
Denn all die Sinuskurven einzeln multiplizieren gibt ja ein heiden Aufwand.

Und auf der Frequenzebene nach Fourier Transformation
gibt jede Multiplikation eine Addition von zwei Ersatzfrequenzen,
also 2^n einzelne Summanden.
Da wäre mir eine Lösung im komplexen lieber mit nur n Summanden.
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 06 Jun 2009 - 21:13:00    Titel: Re: e^it=cos(t)+i*sin(t) <-- Wo ist der Denkfehler?

LordCobra hat folgendes geschrieben:

Da ich mich nur für die Nullstellen interessiere,
also für die Schnittstellen mit der reellen Achse,
kann man für jede einzelne Schwingung
wohl auch cos(t) + i*sin(t) schreiben.


Da ist meiner Meinug nach die kritische Stelle, denn du gehst davon aus, dass der Imaginärteil des Produktes zweier komplexer Zahlen gleich dem Produkt der Imaginärteile der k. Zahlen ist.

sin(a1*t) * sin(a2*t) * ... * sin(an*t)
!=Im(e^(a1*t) * e^(a2*t) * ... * e^(an*t) )

Man kann die Nullstellen doch ohne eine solche Transformation angeben:
{t|f(t)=0}={pi*k/a_i| k€IZ und 1<=i<=n i€IN}
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