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Habe ich richtig gerechnet?
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Sebastian Hauk
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Anmeldungsdatum: 26.05.2006
Beiträge: 138
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2009 - 17:20:31    Titel: Habe ich richtig gerechnet?

Hallo,

ich möchte gerne von Euch wissen ob richtig gerechnet habe:

Ein Raumschiff entfernt sich mit einer Geschwindigkeit von 100.000 km/s von der Erde. Im Raumschiff sollen sich zwei Uhren befinden. Nun soll eine Uhr B vom Raumschiff Richtung Erde fliegen. Die Uhr B soll mit einer Geschwindigkeit von 140.000 km/s, vom Raumschiff aus gemessen, Richtung Erde fliegen. Die Uhr B soll eine Strecke, von der Erde aus gemessen, von 100.000 km zurücklegen

Es soll ausgerechnet werden, welche Uhrzeit die Raumschiffbesatzung und die Menschen auf der Erde auf der Uhr sehen, wenn die Uhr ihr Ziel erreicht hat.

Hier ist die ursprüngliche Rechnung bei einer Raumschiffgeschwindigkeit von 100.000 km/s.

Gegeben:

S – Erde; v(R) = 10⁸ m/s
S’’ – Raumschiff; u’(B)=-1,4*10⁸ m/s; w’(E)= -10⁸ m/s
S’’ – Uhr B: v’’(R)=1,4*10⁸ m/s
Nach dem wir mit der Formel:
u=(u’- v)/(1- u’*v/c ²)
die Geschwindigkeit der Uhr B relativ zur Erde ermittelt haben, sind alle relativen Geschwindigkeiten bekannt:
S – Erde: v(R)=10⁸ m/s; u(UB) = -0,47380509757*10⁸ m/s
S’ – Raumschiff: u’(B)=-1,4*10⁸ m/s; w’(E)= -10⁸ m/s
S’’ – Uhr B: v’’(R)=1,4*10⁸ m/s; w’’(E)= 0,47380509757*10⁸ m/s.
Damit können wir γ berechnen.
γ = 1/(1-v²/c ²)
Aus der Sicht der Erde (S):
γ(R) = 1,0607520004; γ(B) = 1,0127279532
Aus der Sicht des Raumschiffes (S’):
γ’(E) = 1,0607520004; γ’(B) = 1,1308856039
Aus der Sicht der Uhr B (S’’):
γ’’(R) = 1,1308856039; γ’’(E) = 1,0127279532
Nun berechnen wir, wie lange das Raumschiff und Uhr B für 10⁸m, gemessen von der Erde aus, brauchen werden:
Aus der Sicht der Erde - L(Ruhe)=10⁸m:
Δt(R) = L(Ruhe)/v(Raumschiff) = 1s; Δt(B) = L(Ruhe)/u(Uhr B) = 2,1105724804 s
Aus der Sicht des Raumschiffes - L(R) = L(Ruhe)/γ(R) = 9,4272742317*10⁷m:
Δt’(R) = L(R)/ v(Raumschiff) = 0,94272742317 s;
Aus der Sicht der Uhr B - L(B)= L(Ruhe)/ γ(B)= 9,8743201160E*10⁷m:
Δt’’(B)= L(B)/u(Uhr B) = 2,0840468299 s;
Vergleichen wir das Zwischenergebnis.
Mit der Formel für Eigenzeit:
Δt = γ∙Δt(Eigenzeit) =>
Δt’(R) = Δt(R)/γ(R) = 1/1,0607520004 [s] = 0,94272742317 s,
Δt’’(B) = Δt(B)/γ(B) = 2,1105724804/1,0127279532 [s] = 2,0840468299 s.
Jetzt wollen wir das Ganze noch aus der Sicht des Raumschiffes betrachten, ob Uhr B auch für seine Besatzung 2,0840468299 s anzeigt. Als erstes müssen wir die Entfernung bestimmen, welche die Uhr B relativ zum Raumschiff zurücklegt, wenn sie das Ziel erreicht hat. Dazu bedienen wir uns zuerst der Sicht der Erde. Aus ihrer der Sicht legt das Raumschiff in
Δt(B) = 2,1105724804 s
eine Entfernung
l = v(R) ∙ Δt(B) = 2,1105724804 ∙10⁸ m
zurück, und die Uhr B - L(Ruhe)=10⁸ m. Nach der Addition beider Werte bekommen wir die Entfernung zwischen der Uhr B und dem Raumschiff von der Erde aus gesehen L(R-B):
L(R-B) = l + L(Ruhe) = 3,1105724804 ∙10⁸ m.
Diese Entfernung ist aber nicht die Ruheentfernung aus der Sicht des Raumschiffes, sondern die kontrahierte davon. Um die Ruheentfernung zwischen dem Raumschiff und der Uhr aus der Sicht des Raumschiffes L’(Ruhe) zu ermitteln, müssen wir gemäß der Formel:
L(Ruhe) = γ ∙ L
diese noch mit γ(R) multiplizieren:
L’(Ruhe) = γ(R) ∙ L(R-B) = 1,0607520004 ∙ 3,1105724804 ∙10⁸ m = 3,2995459811 ∙10⁸ m
Mit diesem Ergebnis können wir nun die Zeit berechnen, die die Uhr B aus der Sicht des Raumschiffes benötigt, um das Ziel zu erreichen:
Δt’(B) = L’(Ruhe)/ u’(B) = 3,2995459811 ∙10⁸ / 1,4*10⁸ s = 2,3568185579 s.
Und die Eigenzeit der Uhr B:
Δt’’(B) = Δt’(B)/γ’(B) = 2,3568185579 / 1,1308856039 s = 2,0840468299 s
was zu beweisen galt.


Und hier ist nun meine Rechnung bei einer Raumschiffgeschwindigkeit von 80.000 km/s. (Alle anderen Werte habe ich nicht geändert)

Gegeben:

S – Erde; v(R) = 80.000 km/s
S’’ – Raumschiff; u’(B)=-140.000 km/s; w’(E)= -80.000 km/s
S’’ – Uhr B: v’’(R)=140.000 km/s
Nach dem wir mit der Formel:
u=(u’- v)/(1- u’*v/c ²)
die Geschwindigkeit der Uhr B relativ zur Erde ermittelt haben, sind alle relativen Geschwindigkeiten bekannt:
S – Erde: v(R)= 80.000 km/s; u(UB) = -68.541,4119 km/s
S’ – Raumschiff: u’(B)=-140.000 km/s; w’(E)= -80.000 km/s
S’’ – Uhr B: v’’(R)= 140.000 km/s; w’’(E)= 68.541,4119 km/s
Damit können wir γ berechnen.
γ = 1/(1-v²/c ²)
Aus der Sicht der Erde (S):
γ(R) = 1,037626708; γ(B) = 1,027207122
Aus der Sicht des Raumschiffes (S’):
γ’(E) = 1,037626708; γ’(B) = 1,1308856039
Aus der Sicht der Uhr B (S’’):
γ’’(R) = 1,1308856039; γ’’(E) = 1,027207122
Nun berechnen wir, wie lange das Raumschiff und Uhr B für 100.000 km, gemessen von der Erde aus, brauchen werden:
Aus der Sicht der Erde - L(Ruhe)=100.000 km:
Δt(R) = L(Ruhe)/v(Raumschiff) = 1,25 s; Δt(B) = L(Ruhe)/u(Uhr B) = 1,458971988 s
Aus der Sicht des Raumschiffes - L(R) = L(Ruhe)/γ(R) = 96.373,77221 km
Δt’(R) = L(R)/ v(Raumschiff) = 0,9637377221 s;
Aus der Sicht der Uhr B - L(B)= L(Ruhe)/ γ(B)= 97.351,34995 km
Δt’’(B)= L(B)/u(Uhr B) = 1,420328926 s
Vergleichen wir das Zwischenergebnis.
Mit der Formel für Eigenzeit:
Δt = γ∙Δt(Eigenzeit) =>
Δt’(R) = Δt(R)/γ(R) = 1/1,037626708 [s] = 0,963737722 s,
Δt’’(B) = Δt(B)/γ(B) = 1,458971988/1,027207122 [s] = 1,420328926 s
Jetzt wollen wir das Ganze noch aus der Sicht des Raumschiffes betrachten, ob Uhr B auch für seine Besatzung 1,420328926 s anzeigt. Als erstes müssen wir die Entfernung bestimmen, welche die Uhr B relativ zum Raumschiff zurücklegt, wenn sie das Ziel erreicht hat. Dazu bedienen wir uns zuerst der Sicht der Erde. Aus ihrer der Sicht legt das Raumschiff in
Δt(B) = 1,458971988 s
eine Entfernung
l = v(R) ∙ Δt(B) = 116.717,759 km
zurück, und die Uhr B - L(Ruhe)= 100.000 km. Nach der Addition beider Werte bekommen wir die Entfernung zwischen der Uhr B und dem Raumschiff von der Erde aus gesehen L(R-B):
L(R-B) = l + L(Ruhe) = 216.717,759 km.
Diese Entfernung ist aber nicht die Ruheentfernung aus der Sicht des Raumschiffes, sondern die kontrahierte davon. Um die Ruheentfernung zwischen dem Raumschiff und der Uhr aus der Sicht des Raumschiffes L’(Ruhe) zu ermitteln, müssen wir gemäß der Formel:
L(Ruhe) = γ ∙ L
diese noch mit γ(R) multiplizieren:
L’(Ruhe) = γ(R) ∙ L(R-B) = 1,037626708 ∙ 216.717,759 km = 224.872,1348 km
Mit diesem Ergebnis können wir nun die Zeit berechnen, die die Uhr B aus der Sicht des Raumschiffes benötigt, um das Ziel zu erreichen:
Δt’(B) = L’(Ruhe)/ u’(B) = 224.872,1348 / 140.000 s = 1,606229535 s
Und die Eigenzeit der Uhr B:
Δt’’(B) = Δt’(B)/γ’(B) = 1,606229535 / 1,1308856039 s = 1,420328927 s
was zu beweisen galt.


Gruß
Sebastian
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