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Frage zu DGL 1.Ordnung
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schaufelsau
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Anmeldungsdatum: 10.06.2009
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2009 - 15:36:06    Titel: Frage zu DGL 1.Ordnung

Hallo liebe User !

Ich habe ein Problem mit einem DGL.

Das DGL sieht so aus : y' + 0.5y -1 = 0

dabei handelt es sich, nach meiner Erkenntnis, um eine homogene Differentialgleichung.

Hier meine ersten Schritte, danach komm ich nicht weiter :

dy/dx + 0.5y -1 = 0

dy/dx = -0.5y + 1

dy = (-0.5y +1) *dx

dy/-0.5y + 1 = dx


aber hier bin ich mir nicht mehr sicher wie ich nun auf meine Stammfunktion komme.
Bis jetzt habe ich immer versucht am ende dy/y = Ausdruck stehen zu haben, weil die Integration den ln(y) ergibt !
Deswegen bräuchte ich nun Hilfe, wie ich DIfferentialgleichungen angehe wo nochmal +/- irgend eine Konstante vorkommt und ich nicht dy/y - Form komme !

Danke schonmal !


lg schaufelsau
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2009 - 16:06:47    Titel:

Das ist keine homogene DGL. Multiplizier beide Seiten mit e^(x/2) und denk an die Produktregel.

Wenn du nicht weiter kommst, kannst du dich über einen integrierenden Faktor informieren. http://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor

Kannst auch deinen Weg weiterverfolgen, indem du den Nenner im linken Integral substituierst.
FeynmanFan
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Anmeldungsdatum: 20.04.2008
Beiträge: 653

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 09:28:01    Titel:

Hallo,

Trennung der Variablen ist möglich!

y' + 0.5y -1 = 0
y' = 1-0,5y
y'/(1-0,5y) = 1

Jetzt integrieren, auflösen ...

MfG
thaaab
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Anmeldungsdatum: 06.06.2009
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 18:35:43    Titel:

also ich sags jetzt mal ganz vorsichtig.

das ist ne inhomogene lineare differentialgleichung 1. ordnung mit konstanten koeffizienten.

die form ist:

y'+ ay = g(x)
denn:
y' + 1/2y -1 = 0 |+1
y' + 1/2y = 1

Laut Lothar Papulas Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler gibts jetzt 2 Arten auf die du sowas lösen kannst. Ich erklär dir eine und zwar die mit Variation der Konstanten.

1. Schritt
Lösen der zugehörigen Homogenen Gleichung also ohne Störglied g(x).
Die Lösung besitzt für hom. lin. diff. glg. 1.Ord. mit konst. Koeff. immer die Form
y = Ce^(-ax)

2. Schritt
Variation der Konstanten C.
Anstatt als Konstante nimmst du C als Funktion von x an also C(x).
Mit dem Ansatz

y = C(x)e^(-ax)

gehst du jetzt in die ursprüngliche inhomogene Gleichung ein.
Dafür brauchst du y und y'
y hast du ja bereits.

y' = C'(x)*e^(-ax)+(-a)e^(-ax)*C(x) |Produkt + Kettenregel

=>
y' + 1/2y = C'(x)*e^(-ax)+(-a)e^(-ax)*C(x) + a*(C(x)e^(-ax)) =
C'(x)*e^(-ax) = 1

Du willst C(x) bestimmen um es in die Glg. y= C(x)e^(-ax) einzusetzen
C'(x)*e^(-ax) = 1
int (C'(x) = 1*e^(ax))
C(x) = int (1*e^(ax)) | a = 1/2

allgemeine Lösung ist also

y = C(x)*e^(-ax) = (int (1*e^(ax)))*e^(-ax)
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 18:40:49    Titel:

Also Trennung der Variablen oder mit einem integrierenden Faktor zu multiplizieren halte ich hier für die geschicktere Lösungsvariante.
thaaab
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Anmeldungsdatum: 06.06.2009
Beiträge: 49

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2009 - 02:26:42    Titel:

Ich hab ja die Variable getrennt, so kommt man ja auf den Lösungsansatz
y = Ce^(-ax). Hab ich aber vergessen hin zu schreiben, sorry.
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