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Konvergenz uneigentlicher Integrale
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muehlin
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Anmeldungsdatum: 07.06.2009
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 13:44:08    Titel: Konvergenz uneigentlicher Integrale

Hallo,

wie zeigt man dann ob uneigentliche Integrale konvergieren?
Das ist ja definiert als

lim∫ f(x)dx = ∫ f(x) dx

Muss ich da erst ganz normal die Stammfunktion berechnen?

Wie würde ich am Beispiel

∫ [(2x-e^-x)/(x^2+3x+5)]dx

vorgehen? Das Integral geht von 1 bis unendlich.
Hirmick
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Anmeldungsdatum: 28.12.2007
Beiträge: 473
Wohnort: Göttingen

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 16:32:25    Titel:

Nein, du musst nicht immer aufleiten, nur geschickt abschätzen.

Dein Integral konvergiert z.B. nicht. Um das zu zeigen ist es hilfreich, vorher zu wissen dass das Integral über (e^(-x)+3)/(x²+3x+5) auf jeden Fall konvergiert.

Das ist aber leicht, denn dieser Integrand ist überall positiv und kleiner als 4/(x²) (wir haben x>=1). Das Integral über 4/(x²) konvergiert aber sicher.

Jetzt kann ich zeigen, dass dein Integral nicht konvergiert. Beweis:

Ich kann schreiben: [;\int\limits_1^a\frac{2x-\exp(-x)}{x^2+3x+5}\mathrm{d}x=\int\limits_1^a\frac{2x+3}{x^2+3x+5}\mathrm{d}x-\int\limits_1^a\frac{3+\exp(-x)}{x^2+3x+5}\mathrm{d}x=\ln(a^2+3a+5)-\ln(9)-\int\limits_1^a\frac{3+\exp(-x)}{x^2+3x+5}\mathrm{d}x;]

Für a gegen +unendlich geht die rechte Seite gegen unendlich, also divergiert das linke Integral.
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