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Konvergenz/Konvergenzradius von Reihen
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JanL
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Anmeldungsdatum: 02.06.2009
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 18:06:58    Titel: Konvergenz/Konvergenzradius von Reihen

Hallihallo. Sitze gerade an einer Übungsaufgabe für die Uni:

"Bestimmen und markieren Sie auf der komplexen z-Ebene den Konvergenzbereich folgender Reihe:"

[;\sum_{n=0}^\infty n(j-z)^{n-1};]

dies wird, um auf die Form [;A_n*x_{n}^n;] zu kommen zu folgendem:

[;\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{j-z}(j-z)^n;]

Wird nun das Quotientenkriterium angewandt, komme ich allerdings darauf, dass [;\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{A_{n+1}}{A_n}=1;] von oben gegen 1 strebt, die Reihe also somit divergiert und nicht konvergiert. Die Aufgabe wäre somit sinnlos, weshalb ich davon ausgehe, dass ich einfach irgendwo einen Fehler gemacht habe, kann mir jemand sagen, wo hier das Problem liegt?

Grüße, Jan
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 18:38:24    Titel:

[;\sum_{n=0}^\infty n(j-z)^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n(j-z)^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)(j-z)^{n};]

Konvergenzradius ausrechnen:
[;R=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}=1;]

Die Reihe ist also für für alle z mit [;|j-z|<1;] absolut konvergent. Du kannst also einen Kreis um j mit Radius 1 malen, für jedes z in diesem Kreis ist die Reihe konvergent. Über die Randpunkte kannst du ja selber nachdenken.
JanL
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Anmeldungsdatum: 02.06.2009
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 19:33:15    Titel:

Super, danke! Auf die Idee, das vorher so umzuformen, bin ich gar nicht gekommen Smile
Hirmick
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Anmeldungsdatum: 28.12.2007
Beiträge: 473
Wohnort: Göttingen

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 21:26:25    Titel:

Hast du deinen Fehler eigentlich verstanden ? Bei deiner Form ist der Koeffizient von z abhängig, das ist also nicht die Zielform.
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 22:21:06    Titel:

Warum ist es denn falsch, wenn der im Quotientenkriterium betrachtete Bruch von z abhängt?

Er wollte ja das Quotientenkriterium anwenden:

[;a_n=n(j-z)^{n-1}\ \Rightarrow I\frac{a_{n+1}}{a_n}I=I\frac{n+1}{n}(j-z)I=I(j-z)+\frac{j-z}{n}I;]

(Bei mir wollte der keine Betragsstriche annehmen, \mid, \vert etc. haben auch nicht funktioniert, also denke man sich die großen I etwas dünner und vertikaler.)

Also ist [;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=|j-z|;]

Damit die Reihe nach dem Quotientenkriterium konvergiert, muss |j-z|<1

Edit[0:00]: Hat sich erledigt, erst jetzt verstehe ich, was der Threadersteller überhaupt gemacht hat Smile
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