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Induktion (Verständnisproblem)
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One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
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BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 20:22:19    Titel: Induktion (Verständnisproblem)

Hi zusammen,

ich will in diesem Thread nicht die vollständige Induktion benutzen, um irgend eine Aussage zu beweisen, sondern möchte gerne, dass mir dabei geholfen wird, eine Unklarheit die mich bei diesem Beweisverfahren begleitet, zu beseitigen.

Wenn man eine Aussage hat, die nur von einer natürlichen Zahl abhängt, ist klar, nach welcher Variable man die Induktion durchführen muss. Mein Problem bezieht sich auf Aussagen, die von mehr als einer natürlichen Zahl abhängen.

Ich habe schon häufig gesehen, dass bei einer Aussage A(n, k, l) wobei die Aussage für alle natürlichen Zahlen n,k,l gelten soll, vorgeschlagen wurde, eine Induktion nach k durchzuführen, da sich dies "anbiete".

Ich verstehe wirklich nicht, weshalb man sich die Variable, nach der man die Induktion durchführt, beliebig auswählen kann?

Wird das dadurch gerechtfertigt, dass man am Anfang des Beweises n und l als beliebige natürliche Zahlen bezeichnet und dann eine Induktion nach k durchführt? Hätte man also auch genausogut n,k beliebig wählen können und die Induktion nach l durchführen können?

Eine Aussage, die z.B. von 2 natürlichen Zahlen abhängt, ist die Formel für die Potenzsumme:

[;\sum_{k=1}^{n}k^q=A(n,q);]

Warum wird bei dieser Formel meistens nach q die Induktion durchgeführt? Weshalb induziert niemand nach n? Nur weil es leichter geht, wenn man die Induktion nach q durchführt, oder gibt es einen tieferen Grund?

Edit: Bin mir nicht mehr sicher, wonach meistens die Induktion durchgeführt wird, ist für mein Problem ja ohnehin nicht von Belang, welche Variable nun bevorzugt wird, es geht ja darum, warum man Variabeln bevorzugt und weshalb es erlaubt ist sie zu bevorzugen.

Wenn ich das endlich verstehen würde, wäre ich denjenigen, die dazu beitrugen überaus dankbar!
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 21:14:01    Titel: Re: Induktion (Verständnisproblem)

One for one hat folgendes geschrieben:
Wird das dadurch gerechtfertigt, dass man am Anfang des Beweises n und l als beliebige natürliche Zahlen bezeichnet und dann eine Induktion nach k durchführt? Hätte man also auch genausogut n,k beliebig wählen können und die Induktion nach l durchführen können?

Ja, genau so ist es.
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2009 - 22:07:10    Titel:

Dann ist das Mysterium ja geklärt Very Happy

Danke und gute Nacht noch!
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