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Extremwertaufgabe im R^3
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cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2009 - 16:00:28    Titel: Extremwertaufgabe im R^3

Gesucht sind die Seitenlängen x,y,z eines Quaders maximalen Volumens, wobei x+y+z=3/4 gilt.

Mit der Bedingung gilt V(x,y)=x*y*(3/4-x-y)
V(x,y) weist kein globales Maximum auf (divergiert mit x,y -> oo). Also ist ein lokales Maximum gesucht. Aber irgendwie komme ich nicht auf die Bedingung.

grad V(x,y) ist für x=y am größten (natürlich nur für positive x bzw. y). Also nimmt das Volumen für x=y am schnellsten zu. Wenn ich das als Bedingung verwende, komme ich auf das Endergebnis x=y=z=1/4.

Geht das auch irgendwie anders? Wenn man sich die Menge F={(x,y,V(x,y), x+y+z=3/4} anschaut, müsste es einen Ring im R^3 ergeben, dessen z-Komponente, also V(x,y) irgendwo (eben bei x=y=1/4) am größten ist. Wie erhalten ich diesen Ring ohne z festzulegn? Da drehe ich mich im übertragenen Sinne im Kreis. Laughing
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2009 - 20:01:57    Titel:

So langsam zweifle ich an meinem Ansatz. Eigentlich müsste ich eine Funktion V(x,y) bekommen, die sehr wohl ein globales Maximum aufweist. Confused
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24252

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2009 - 20:06:24    Titel:

Du solltest nur den positiven Oktanden betrachten, weil negative Seitenlängen keinen Sinn ergeben...

Cyrix
cipoint
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Anmeldungsdatum: 08.11.2006
Beiträge: 489

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2009 - 20:38:01    Titel:


Warum wird das Volumen bei x,y<0 positiv? Wenn ich von Hand xy(3/4-x-y) für x=y=1/4 nachrechne, bekomme ich 1/64 raus, also positives Volumen. Aber dem Plot nach müsste es negativ sein.

edit: Ja klar, der Funktionswert ist ja so winzig, dass man ihn auf dem Plot gar nicht von der ebenen Fläche um Ursprung unterscheiden kann. Ich habs gleich ... Smile
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