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Wurzelziehen komplexer Zahlen
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Help4Me
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Anmeldungsdatum: 30.09.2007
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2009 - 20:50:29    Titel: Wurzelziehen komplexer Zahlen

Hallo,
würde mir bitte jemand bei den Beispielen helfen. Ich habe die fertige Lösung, aber ich möchte diese natürlich auch verstehen.
Natürlich ist dies wieder etwas ganz einfaches für euch.

Allgemein:
z = r * e^winkel*i
n-te Wurzel (z) = n-te Wurzel (z) * e^i*winkel/n
Winkel = arctan(b/a)

Beispiel 1:
Wurzel(-i) = ?
a=0; b= -1
r=1 Winkel = 3pi/2 (=270°)
Wurzel(r)=1 Winkel/2 = 3pi/4; 2pi/2 = pi

Im Allgemeinen, wie komme ich auf 3pi/2 und weiter auf 2pi/2?

Mein Gedanke:
. 3pi/2 weil tan von 270° nicht berechenbar ist, sowie 1-/0 ???



Beispiel 2:
z^6 - 1 = 0
z = 6-te Wurzel (1) = 1
r = 1 Winkel = 0
6-te Wurzel (r) = 1 Winkel/6 = 0; 2pi/6

Wie komme ich hier auf den Winkel???
Winkel ist arctan(b/a). ... b oder a muss eigentlich 1 sein, da ja r 1 ist.
D.h., bei der Division zum Winkel erfolgt eine Division durch 0, was Error ergibt.


Danke für hilfreiche Informationen.

LG, Help4Me
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2009 - 21:59:36    Titel:

.
Zitat:
auch verstehen. ..

geht so:
zum Punkt -i gehört nicht nur der Winkel 270° ,sondern alle Wiederholungen
also arg(-i) = 270° + k*360° .. (mit k aus Z)

also haben die Lösungen von z^2=-i die Argumente 135°+k*180°


analog für z^6= 1
zum Punkt 1 gehören die Winkel k*360°

zu den 6 Lösungen von z^6=1 gehören also die Winkel k*60°

also 0,60,120, 180,240,300 ..
die 6 Lösungen legen auf dem Einheitskreis |z|=1 die Eckpunkte eines
inbeschriebenen regelmässigen Sechseck fest (beginnend mit der Ecke (1,0) )..

ok?
Help4Me
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Anmeldungsdatum: 30.09.2007
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 05:46:29    Titel:

Danke!
Im Allgemeinen verstehe ich es. Letzte Frage, ist mein Gedanke, um auf den Grundwinkel zu kommen richtig?

Zitat:
. 3pi/2 weil tan von 270° nicht berechenbar ist, sowie 1-/0 ???

Die 270 sind mir nicht ganz klar.

Zitat:
Winkel ist arctan(b/a). ... b oder a muss eigentlich 1 sein, da ja r 1 ist.
D.h., bei der Division zum Winkel erfolgt eine Division durch 0, was Error ergibt.


Das ich natürlich auf die volle Periodenlänge weiterrechnen muss ist mir klar.

Danke für deine Antwort.

LG, Help4Me
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 08:41:48    Titel:

.
Zitat:
Die 270 sind mir nicht ganz klar. Sad

Mann, für Punkte, die auf den Achsen liegen , brauchst du dir doch keine (Winkel)Beine ausreissen
und schon gar nicht irgendwelche Winkelfunktionen missbrauchen..

Beispiele (mit zugehörigen Mittelpunkts-Winkeln ...plus k*360° ):
1 =(1;0) .. 0°
i = (0;1) .. 90°
-1 = (-1;0) .. 180°
-i = (0;-1) .. 270°



........................ Idea ................. Question
Help4Me
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Anmeldungsdatum: 30.09.2007
Beiträge: 322

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 20:04:21    Titel:

Hallo,
sorry für die späte Antwort, aber ich bin jetzt erst dabei weiterzulernen.

OK, mit der Aufstellung ist es ganz klar. Leider habe ich dies nirgendwo im Lehrbuch gefunden, sch... Buch!?!? Mad

LGR
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