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Vektorraum Definition
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Binomialkoeffizient
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Anmeldungsdatum: 30.07.2008
Beiträge: 589
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BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 15:42:28    Titel:

Also wenn ich das richtig verstehe, wird jedem Paar reller Zahlen
(a_1 , a_2) bei Skalarmultiplikation mit einem Skalar r das Paar (0 , 0) zugeordnet. Insbesondere müsste dann 1 * (a_1 , a_2 ) = (0 , 0) sein.
Was sagt uns das?
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 15:57:30    Titel:

Mhm, daran bleib ich ja hängen Wink Ich hätte jetzt gesagt, dass es sich nicht um einen Vektorraum handelt, sondern nur (?) um eine Gruppe ?!
One for one
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Anmeldungsdatum: 26.06.2007
Beiträge: 1034
Wohnort: Aachen

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 16:03:57    Titel:

Kann denn deiner Meinung nach eine derart definierte Verknüpfung ein neutrales Element besitzen?
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 16:37:18    Titel:

Nö.
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 16:47:41    Titel:

Also ist dann die oben genannte verknüpfung kein Vektorraum? Mmn nein. Erfüllt es denn die Eigenschaften einer Gruppe? Mmn ja. Stimmt das?
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 19:22:50    Titel:

Bildet denn [; \left( \mathbb{R}^2, \oplus \right) ;] eine abel'sche Gruppe? Welche Attribute erfüllt diese Struktur überhaupt?
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 22:00:03    Titel:

Was meinst du mit [; \oplus;]? Ist damit die 1. oder 2. Verknüpfung gemeint? Es kann sein, dass ich da jetzt was falsch verstehe, aber muss man bei der 1. Verknüpfung: [; (a_{1} \mid a_{2})\oplus (b_{1} \mid b_{2}) =(a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1}) \mid (a_{2}b_{2});] alle 10 Gesetze kontrollieren und bei der 2. Verknüpfung nur die 5 Gesetze der Multiplikation?

Wir haben leider so Dinge wie abelsche Gruppe usw. noch nicht durchgenommen, wir haben bisher nur diese 10 Gesetze (also noch keine Fachwörter eingeführt):
1. Addition
a) Existenzgesetz
b) Assoziativ
c)Neutrales Element
d)Inverses Element
e) Kummutativ

2. Multiplikation
a) Existenz
b) Distributiv (mit einem Vektor und zwei Faktoren)
c) Distributiv (mit zwei Vektoren und einem Faktor)
d) Assoziativ
e) Neutrales Element

Ich habe bisher die 1. Verknüpfung untersucht: [; (a_{1} \mid a_{2})\oplus (b_{1} \mid b_{2}) =(a_{1}b_{2} +a_{2}b_{1}) \mid (a_{2}b_{2});]
Diese erfüllt alle Gesetze der Addition

Jetzt bleibe ich bei der 2. Verknüpfung hängen [; r\odot (a_{1} \mid a_{2}) = (0 \mid 0);] . Hier muss ich doch die 5 gesetze der Multiplikation überprüfen, oder etwa nicht?

Ich weiß jetzt nicht genau was mit abelsche gemeint ist, bedeutet das, ob die Verknüpfung die 5 Gesetze der Multiplikation erfüllt? Dann ja nicht, ein neutrales Element gibt es augenscheinlich nicht.

Aber was bedeutet dies?
Crying or Very sad
Binomialkoeffizient
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Anmeldungsdatum: 30.07.2008
Beiträge: 589
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2009 - 12:13:44    Titel:

Wenn eine Struktur 1 a) - d) erfüllt, so nennt man sie eine Gruppe. Ist dann noch e) erfüllt, so nennt man das eine abelsche Gruppe. Also 1. a) - e) sind für die erste Verknüpfung erfüllt, das siehst du richtig. Jetzt musst du die Gesetze überprüfen, die die Multiplikation betreffen. Natürlich mit der 2. Verknüpfung, die Vektorraumaxiome unterscheiden ja zwischen zwei Verknüpfungen, einmal
+: R^2 x R^2 -> R^2 (einer inneren Verknüpfung, Vektoraddition genannt) und *: R x R^2 ->R^2 (einer äußeren Verknüpfung, genannt skalare Multiplikation). Wenn auch nur ein Gesetz verletzt ist, so handelt es sich nicht um einen Vektorraum.

PS: Behandelt ihr das in der Schule oder Uni/FH ?
PPS: dass es sich um R^2 handelt, liegt jetz an deinem Beispiel, das könnten natürlich auch andere Mengen sein...
Lukas1990
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Anmeldungsdatum: 17.09.2007
Beiträge: 552
Wohnort: Köln

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2009 - 12:35:46    Titel:

Binomialkoeffizient hat folgendes geschrieben:
...Natürlich mit der 2. Verknüpfung, die Vektorraumaxiome unterscheiden ja zwischen zwei Verknüpfungen, einmal
+: R^2 x R^2 -> R^2 (einer inneren Verknüpfung, Vektoraddition genannt) und *: R x R^2 ->R^2 (einer äußeren Verknüpfung, genannt skalare Multiplikation). Wenn auch nur ein Gesetz verletzt ist, so handelt es sich nicht um einen Vektorraum...


Was meinst du mit unterscheiden sich in zwei verknüpfungen? Was genau muss ich jetzt mit der 2. Verknüpfung überprüfen?

PS: Wir machen das gerade im Mathe LK Ende der 12, haben gerade Einführung der linearen Algebra mit analytischer Geometrie. Vlt wunderst du dich, weil man ja eigentlich in der schule nicht unbedingt diese ganzen Beweisführungen macht ...

Danke Smile
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2009 - 13:51:36    Titel:

Also es muss noch folgendes geprüft werden:

[; (r \cdot s) \odot (a_1, a_2) = r \odot \left( s \odot (a_1, a_2) \right) ;]
[; r \odot \left( (a_1, a_2) \oplus (b_1, b_2) \right) = r \odot (a_1, a_2) \oplus r \odot (b_1, b_2) ;]
[; (r + s) \odot (a_1, a_2) = r \odot (a_1, a_2) \oplus s \odot (a_1, a_2) ;]
[; 1 \odot (a_1, a_2) = (a_1, a_2) ;]

Wenn das für beliebige [; r, s \in \mathbb{R} ;] und [; (a_1, a_2), (b_1, b_2) \in \mathbb{R}^2 ;] gilt, dann wäre [; \left( \mathbb{R}^2, \oplus, \mathbb{R}, \odot \right) ;] ein Vektorraum.
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