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Konvergenz: Gamma- und Betafunktion
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TheHornedGod
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Anmeldungsdatum: 17.11.2005
Beiträge: 827

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2009 - 23:45:31    Titel: Konvergenz: Gamma- und Betafunktion

Servus!

Ich soll hier in einer Teilaufgabe finden, für welche p,q ϵ ℝ die Integraldarstellung der Gammafunktion Γ(p) und der Betfunktion B(p,q) konvergent sind.

Γ(p) = ∫(0,∞) s^(p–1) e^(-s) ds

B(p,q) = ∫(0,1) t^(p–1) (1–t)^(q–1) dt

Selber kam mir leider noch keine Idee. Durch Recherchen hab ich schon erfahren, dass die Gammafunktion für positive p definiert ist. Ich hab mir auch schon Konvergenzbeweise angesehen und verstanden, aber in denen wird p von Vornherein schon als positiv vorausgesetzt. Und ich sehe leider nicht, was ein negatives p am Konvergenzbeweis ändern sollte.

Konvergenzbeweis ist z.B. hier auf Seite 2:
http://www.uni-duisburg.de/FB11/STAFF/ROGGE/Analysis_pdf/Ana30.pdf

Wär super, wenn mir wer weiterhelfen könnte!
Hirmick
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Anmeldungsdatum: 28.12.2007
Beiträge: 473
Wohnort: Göttingen

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2009 - 12:21:49    Titel:

Ich nehm jetzt einfach mal nur a) : [;\Gamma(p)=\int_0^\infty s^{p-1}e^{-s}\mathrm{d}s;]

Konvergenz für p>0 sei bereits bekannt, sei also p<=0. Dann nimmt das Integral foglende Form an: [;\int_0^\infty\frac1{s^k}e^{-s}\mathrm{d}s;]

dabei k>=1.

Zwei Bemerkungen: Der Integrand ist überall positiv, und wenn du die obere Grenze gegen unendlich wachsen lässt konvergiert das Integral (untere Grenze noch größer 0), denn für s gegen unendlich fällt der Integrand ja noch schneller als in dem Fall, wo du die Konvergenz bereits kennst.

Interessant ist also der Grenzprozess: Untere Schranke gegen 0:
[;\int_0^\infty\frac1{s^k}e^{-s}\mathrm{d}s=\lim_{\epsilon\rightarrow 0+}\int_\epsilon^\infty\frac1{s^k}e^{-s}\mathrm{d}s;]

Ich wähle jetzt eine beliebige Zahl d>0 und spalte den Teil für s>=d ab, der ja bekanntlich konvergiert (nur bei 0 war das Problem).

Ich bekomme
[;\lim_{\epsilon\rightarrow 0+}\int_\epsilon^\infty\frac1{s^k}e^{-s}\mathrm{d}s=\lim_{\epsilon\rightarrow 0+}\int_\epsilon^d\frac1{s^k}e^{-s}\mathrm{d}s+\int_d^\infty\frac1{s^k}e^{-s}\mathrm{d}s;]
Da der zweiet Teil konvergiert, brauchen wir nurnoch den ersten zu betrachten: Den kann man nach unten abschätzen, denn [;\exp(-x)\geq \exp(-d);], also folgt:
[;\int_\epsilon^d\frac1{s^k}e^{-s}\mathrm{d}s\geq\exp(-d)\int_\epsilon^d\frac1{s^k}\mathrm{d}s;]

Entsprechend kannst du es nach oben abschätzen, denn [;\exp(-x)\leq 1;], also bekommst du insgesamt:
[;\exp(-d)\int_\epsilon^d\frac1{s^k}\mathrm{d}s\leq\int_\epsilon^d\frac1{s^k}e^{-s}\mathrm{d}s\leq\int_\epsilon^d\frac1{s^k}\mathrm{d}s;]

Da Integrand nicht alterniert, das Integral also monoton steigt, hast du Konvergenz genau dann wenn das Integral [;\int_\epsilon^d\frac1{s^k}\mathrm{d}s;] konvergiert. Wann ist das der Fall (Tipp: aufleiten) ?
TheHornedGod
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Anmeldungsdatum: 17.11.2005
Beiträge: 827

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2009 - 22:26:13    Titel:

Ah, jetz geht bei mir ein Lichtlein auf Idea .

Das Integral über die Abschätzung konvergiert eben nur für p>0.

Danke vielmals! Smile
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