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Beweis das Wurzel 2 nicht rational ist?
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[n.tro]
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Anmeldungsdatum: 11.04.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2005 - 15:22:18    Titel: Beweis das Wurzel 2 nicht rational ist?

Guten morgen, also ich muss am Mittwoch einer 11 Klasse erklären wie man beweist das Wurzel 2 nicht rational ist. Ich wollte einfach mal fragen ob es mehrere Methoden gibt und welche die einfachste ist die zu beweisen. würde mich über antworten sehr freuen Very Happy

greez nitro
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2005 - 16:55:50    Titel:

Hi,
das könnte so laufen:

Annahme, dass SQRT(2) rational sei; [Hinweis: SQRT(...) = Wurzel(...)];
dann lässt sich SQRT darstellen als a/b mit:
- a, b ganze Zahlen und
- a und b teilerfremd und
- b ungleich 0

dann ist nach Quadrieren: [SQRT(2)]² = 2 = a²/b²
und auch: 2*b² = a²; also muss, weil 2*b² immer eine gerade Zahl ist, auch a² gerade sein. Ist aber a² gerade dann lässt sich a² mit (2*r)² darstellen,
nach Einsetzen folgt: 2*b² = 4*r² ==> b² = 2*r² ==> dann ist auch b immer eine gerade Zahl,

Sind nun a und b jeweils gerade Zahlen, dann sind sie nicht mehr teilferfremd, da sie durch 2 gekürzt werden können. Dies ist aber ein Widerspruch zu der Annahme oben; deshalb kann SQRT(2) keine rationale Zahl sein.
[n.tro]
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Anmeldungsdatum: 11.04.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 17:20:38    Titel:

danke habe gehofft es gaebe noch eine leichtere methode... naja werde wahrscheinlich mein referat dann hier reinstellen fuer alle die es interessieren sollte
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