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Beweis Vektorraum
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Janina22
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Mai 2005 - 21:58:59    Titel: Beweis Vektorraum

Guten Abend Leute!

Ich habe so einen Beweis noch nie gemacht und muss paar davon machen. Kann mir das jemand zeigen?

Definiere B={y element R^m| es existiert x element R^n: Ax=y}. Beweise dass B ein Vektorraum ist.

Merci!!!
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 08 Mai 2005 - 22:08:40    Titel:

einfach vektorraumaxiome prüfen

oder beweisen dass B ein untervektorraum von R^m ist. dann ist es ja automatisch ein vekraum
das bedeutet, du musst beweisen dass
1) wenn y1 und y2 in B, dann auch y1+y2
2) wenn y in B, dann auch für jedes k in R ky in B

zu 1)
da y1 in B, gibt es ein x1 in R^n sodass A x1 = y1
da y2 in B, gibt es ein x2 in R^n sodass A x2 = y2
dann gilt ja automatisch
A(x1+x2) = A x1 + A x2 = y1+y2
somit y1+y2 in B

zu 2)
da y in B, gibt es ein x in R^n sodass Ax =y
dann gilt ja für jedes k in R
A(kx) = k Ax = ky
und somit ky in B
Janina22
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 00:29:53    Titel:

Danke DIR!!!!!!!

Dadurch dass ky in B, ist B Vektorraum?

Auf die Art habe ich schon mal andere Aufgabentypen gerechnet. Ist faszinierend wie sich einiges in der Mathematik überschneidet!

Zu der aufgabe sagte uns der Dozent dass Ax=0 nur dann gilt wenn x=0. Und dann soll A injektiv sein? Warum ist A dann inkjektiv? Kann man das rechnerisch nachrechnen oder so beweisen?

danke fürs lesen!
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 07:49:38    Titel:

Zitat:
Dadurch dass ky in B, ist B Vektorraum?

Ja, wie schon gesagt, eine untermenge B von R^m ist ein untervektorraum von R^m genau dann wenn
1) für jedes y1 und y2 in B, dann auch y1+y2
2) für jedes y in B, dann auch für jedes k in R ky in B
du brauchst dann nur diese 2 konditionen zu prüfen

Zitat:
Zu der aufgabe sagte uns der Dozent dass Ax=0 nur dann gilt wenn x=0. Und dann soll A injektiv sein? Warum ist A dann inkjektiv? Kann man das rechnerisch nachrechnen oder so beweisen?

Natürlich kann man, sonst wäre es ja keine mathe! Smile
Sei V ein vektorraum
1) nehmen wir an A sei injektiv. das bedeutet dass
für jedes u,v in V, Au=Av => u=v
nehmen wir jetzt ein x sodass Ax=0. du weisst ja dass in jedem vektorraum immer gilt A0=0. also folgt daraus
Ax=A0
und wegen injektivität also x=0

2) nemen wir an Ax=0 =>x=0
nehmen wir ein x und ein y sodass Ax=Ay. dann gilt wegen linearität
Ax=Ay
<=> Ax-Ay=0
<=>A(x-y)=0
=> x-y=0
<=> x=y
somit ist A injektiv
Janina22
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 11:49:17    Titel: Danke

Danke vielmals!

hab jetzt denke ich die anderen gelöst die fast genau so gingen.

eine habe ich aber nicht hinbekommen. vielleicht ist sie nur zu trivial, ich weiss es nicht.

Definiere N={x element IR^n|Ax=0}. Beweise daß N ein Vektorraum ist.

Kann man das mithilfe der anderen lösen irgendwie?
Rulli
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Anmeldungsdatum: 08.10.2004
Beiträge: 372
Wohnort: Luxemburg

BeitragVerfasst am: 09 Mai 2005 - 13:22:58    Titel:

die idee dieses beweises ist genau die gleiche wie bei der anderen auch... du musst beweisen dass N ein untervektorraum von R^n ist.

1) nehmen wir ein x und ein y aus N. dann muss ja gelten
Ax=0
Ay=0
dann gilt aber auch, wegen linearität
A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0
und somit x+y in N

2) nehmen wir ein x aus N. dann gilt ja Ax=0
dann gilt aber auch für jedes k in R
A(kx)=k Ax= k 0 =0
und somit kx in N, für jedes k in R

beides zusammen ergibt dass N ein unterveltorraum von R^n ist, und somit selbst ein Vektorraum

N nennt sich übrigens der Kern von A.
kombiniert mit deiner vorherigen frage ergibt das den satz:

A injektiv <=> N ={0}
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